离散变量优化设计的连续化方法研究

【摘要】：藉助于计算机技术、有限元方法和数学规划等学科领域的发展，经过几十年的研究，结构优化设计的理论和方法已取得了长足的进展，并已成为现代设计方法中不可缺少的工具。然而，迄今为止，虽然连续变量优化问题的研究已相当完善，但是离散变量优化问题的研究却不尽如人意。无论是一些经典方法还是近年来兴起的一些随机搜索类算法，能够求解的仅是一些小规模的问题，而一些融合新的数学规划方法(如内点法与半定规划方法等)的算法虽然可以求解一些比较大型的问题，但这些方法却不易为一般工程设计人员所掌握，这一切严重地制约了离散优化的实际工程应用。本文旨在探索求解离散变量优化的一种新的途径，锁定的目标是可以利用连续优化的通用软件求解大型离散优化问题的方法。文中虽涉及到该方法的一些基本数学理论，但重点被放在其数值实现方面，最后将本文方法应用到几个具体结构优化问题的求解，证实了算法的有效性。论文的具体章节安排如下： 第一章首先简要介绍了本文的工程实际应用背景，阐明了本文研究的出发点和意义。然后对目前求解离散变量结构优化设计问题和连续体拓扑优化设计问题的主要方法进行了归纳和总结，对0-1规划问题的发展概况进行简单回顾，并介绍了目前0-1规划问题研究的一些新动向。最后，简要地介绍本文的主要内容和论文层次结构。 第二章提出了求解非线性0-1规划问题的三种连续化方法：Sigmoid函数法、NCP函数法和二进制熵函数法。这几种方法的共同特点都是基于将0-1变量连续化，由此建立起相应的连续优化算法，以便利用连续优化软件进行求解。分别利用所提出的方法对一定数量的例题进行数值实验，验证了方法的可行性和有效性。最后对三种连续化方法的优点和缺点进行了比较分析。本章所提出的连续化方法为后续章节的离散变量优化设计奠定了基础。 第三章对离散优化中典型的二进制二次规划(BQP)问题进行研究，提出了一个求解(BQP)问题的连续化方法。首先，利用NCP函数方法，将二进制变量转化为等价的非光滑方程，再用凝聚函数法对其进行光滑化处理，从而把原来的组合优化问题转化成了一般的可微非线性规划问题。文中给出了用增广拉格朗日函数法进行求解的具体步骤。由于该问题的增广拉格朗日函数在罚因子充分大的条件下在一个非常大的区域内是凸的，这对求解原问题的全局最优解提供了一定的保障。通过对一些较大规模(BQP)问题进行的数值实验表明，本文方法可以在较短时间内有效地进行求解，没有遭遇到任何计算困难，比较好地验证了本文算法的有效性。