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脉冲方程在微生物培养和种群控制中的应用

孙树林  
【摘要】: 微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起到了非常重要的作用。它从数学的角度解释各种种群动力学行为,使人们科学地认识种群动力学,从而对某些种群相互作用进行有目的地控制。特别是用脉冲微分方程来描述种群动力学模型能够更合理、更精确地反映各种变化规律,因为现实世界中的许多生命现象和人类的开发行为几乎都是脉冲的。本文针对微生物培养和种群控制的几个问题利用脉冲微分方程的相关理论和方法建立并研究了相应的动力学模型,同时借助计算机模拟讨论了所提模型的各种动力学行为,包括平衡点的稳定性、周期解的存在性、系统的持久性与灭绝以及系统动力学的复杂性。本文的主要结果概括如下: 第二章讨论微生物培养。第一节研究具有变消耗率的比率确定型Chemostat模型的渐近行为。模型假定了消耗率是营养基的线性函数而且增长率是比率确定型函数,推广了经典的Monod模型。利用常微分方程定性理论证明了只要正平衡点存在系统就是持续生存的,同时也给出了极限环存在和正平衡点全局渐近稳定的充分条件。第二节研究脉冲输入营养基的Monod型Chemostat模型的动力学行为。利用Floquet理论和小振幅干扰的方法证明脉冲周期满足一定条件时,微生物灭绝周期解是渐近稳定的。然后用分析的方法讨论了系统的持久性。最后用数值模拟验证了主要结论。第三节利用类似于第二节的方法讨论了具有变消耗率和脉冲干扰营养基的Chemostat模型的复杂动力学。 第三章讨论了非自治周期系统周期解的存在性。第一节研究一个具有Beddington-DeAngelis功能反应和脉冲干扰的捕食系统。利用拓扑度理论的连续性定理给出系统正周期解存在的充分条件,并给出例子借助计算机模拟说明脉冲对种群动力学的影响。第二节利用k-集压缩理论研究脉冲时滞Logistic模型正周期解的存在性,给出正周期解存在的充分条件。第三节利用拓扑度理论研究一个具有功能反应的捕食系统正周期解的存在性问题。给出系统正周期解存在的充分条件并模拟了主要结论。 第四章讨论脉冲干扰对捕食模型的影响。第一节针对传染病控制害虫的理论,研究投放染病害虫控制害虫增长的优化控制。我们假定投放染病害虫的方式有连续的和脉冲的两种。因此,相应的模型分别是常微分方程模型和脉冲微分方程模型。利用常微分方程定性理论和脉冲微分方程理论分析了两个模型。从数学的角度给出在综合害虫管理中利用染病害虫控制害虫增长的一个理论依据。第二节研究一个捕食者具有脉冲迁入的Holling型捕食系统的动力学行为。用分析的方法证明了该系统是持续生存的,通过数值模拟显示了捕食者迁入对系统动力学的影响。


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