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哈密顿体系中波的传播、鲁棒控制与辛方法探索

高强  
【摘要】: 随着科学和技术的发展,空间、纳米、环境、能源、生命和信息等各方面都发生着深刻变化,大量新学科涌现与多学科交叉成为当代科学发展的一个突出特点。当代科学发展的另一个特点是学科统一化进程加速。科学是一个整体,其内在力量总是激励人们以尽可能统一的方式完整地认识问题。力学作为一门理论科学,其最根本的体系是经典分析力学。其中的Lagrange方程、最小作用量原理、Hamilton正则方程、对偶变量、辛变换及Hamilton-Jacobi理论等都是极为优美的数学理论体系。而且分析力学也为理论物理中的统计力学、电动力学、量子力学等学科奠定了坚实的基础。现代控制论所奠基的状态空间法的起点至少也应当回溯到哈密顿正则方程体系。将对偶变量理论体系引入到弹性力学,导向了理性的求解方法,从而可以求得许多以往半逆凑合法无法导出的结果。线性规划、二次规划以及非线性规划的基本方法也奠基于对偶体系基础上。基于以上观察,应用力学也应当自觉地、系统地将对偶体系运用于其它各个学科分支。本博士学位论文在对偶哈密顿体系的统一框架下,探讨了波的传播、鲁棒控制与保守动力系统中的辛几何求解理论和高效高精度的数值求解方法。本文的主要工作如下: (1)本文将各向同性分层半无限空间中表面波问题导向对偶体系,基于状态方程矩阵是哈密顿矩阵的性质,提出了一种求解分层半无限空间中Love和Rayleigh表面波问题的精确、高效方法。此方法联合应用了精细积分法和扩展W—W算法。精细积分法是一个求解一阶线性常微分方程组的精确数值方法,既可以应用于空间域的两点边值问题,又可以用于时间域的初值问题。它可以给出计算机精度意义下的精确解,并且保持哈密顿体系的辛结构。应用扩展的W—W算法求解从精细积分法得到的超越方程时,对任意给定的试验频率ω给出本征值计数J(ω),通过计算试验频率ω处的本征值计数可以确保不会遗漏任何本征值。 (2)各向异性介质有21个独立的弹性参数,并且三个方向的位移分量都耦合在一起,这使得各向异性介质中波的传播性质变得异常复杂。本文将各向异性分层介质中的波传播问题导向对偶体系,基于状态方程是哈密顿矩阵的性质,进一步将保辛的精细积分法和扩展W—W算法推广应用于各向异性分层介质的波传播问题,该方法的有效性和高精确性得益于精细积分法对哈密顿系统的辛结构的保持和本征值计数方法的应用。应用本文方法求解各向异性分层介质的波传播问题具有与求解各向同性介质波传播问题同样简洁的公式和统一的计算步骤。 (3)本文将粘弹性分层介质中的平稳和非平稳随机波传播问题导入到对偶体系,将随机性问题转换为确定性问题,通过变换将粘弹性介质中的控制方程转换为哈密顿正则方程,提出了平稳和非平稳随机波传播问题的虚拟激励—保辛精细积分法。首先,虚拟激励法将随机波传播问题转换为波数—频率域中的确定性问题进行求解。然后证明,虽然岩层是粘弹性介质,存在阻尼或者能量耗散机制,但是将控制方程导入到对偶体系后仍然是哈密顿正则方程。在对偶体系下,波数—频率域中的状态方程是线性哈密顿方程的两端边值问题,保辛的精细积分法是求解此类问题的高精度算法,可以给出计算机意义下的精确解。 (4)本文提出了随机地震波作用下分层半无限空间与上部结构相互作用问题的高效、精确方法。目前,对于岩层—结构相互作用的研究都采用确定性激励,但地震激励本质上是随机的。本文中将虚拟激励方法推广应用于随机性岩层—结构相互作用问题。应用虚拟激励法后,所有控制方程都转换为确定性方程,这时可以应用精细积分法来积分波数—频率域中的控制方程,得到计算机意义下的精确解。 (5)本文提出了哈密顿体系下大系统分散鲁棒控制的广义模态综合法。在大系统控制中,分散控制方法通过将整个系统划分成一系列子系统来研究系统的控制问题,这与结构力学中的子结构分析技术类似。本文表明分散控制的提法与结构力学中的子结构分析相互模拟:静力子结构分析对应于通常意义的分散控制理论,而动力子结构分析则对应于分散H_∞控制理论。本文由此建立了H_∞分散控制与子结构振动问题之间的对应关系,指出大系统分散控制的最优参数γ_(cr)~(-2)对应于整体结构的一阶本征值,并利用模态综合法计算出H_∞分散控制问题中的最优参数γ_(cr)~(-2)。给出了大系统分散鲁棒控制广义模态综合法的正交性、完备性和展开定理。 (6)已有哈密顿系统的保辛算法多是基于差分近似的Runge-Kutta方法。保辛Runge-Kutta法的困难之处在于构造高精度算法。本文基于分析结构力学,利用时间有限元的概念,将广义位移用形函数离散,得到近似作用量。利用近似作用量作为生成函数,构造无约束和有约束保守系统的保辛算法。利用多个节点构造高阶形函数,能显著提高有限元保辛算法的精度。最终通过天体力学、分子动力学和统计物理学等领域的大量数值算例验证了本文方法的有效性。


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