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非线性波、几何可积性与群分类

黄定江  
【摘要】: 本文以著名数学家吴文俊先生所倡导的数学机械化思想为指导,以构造性的变换及符号计算为辅助工具,从几何和代数的角度来研究了非线性波,可积系统和微分方程的群理论分析中的一些问题:精确波解(行波解、孤立波解、周期解、泛函分离变量解)、Darboux变换、非等谱演化方程与几何可积性、群分类、等价群,等价性变换、古典李对称约化、守恒律分类。 第二和第三章主要考虑了非线性偏微分方程的精确解的构造。首先介绍了张鸿庆教授提出的构造非线性偏微分方程精确解的AC=BD模式和C-D对理论,并且把这一模式推广到研究(1+1)-维偏微分方程的保持形式的点变换。然后在第三章具体研究了这一模式的应用:(ⅰ)基于一类一阶带六次非线性项的常微分方程,提出了扩展的第一类椭圆方程方法,并以广义的Zakharov方程组为例来展示该方法的有效性,获得了大量新的有趣的精确解,其中包括钟型和扭结型孤波解,亮和暗孤立波解,三角周期波解等;(ⅱ)基于一类投影Riccati方程,提出了一种新的变系数投影Riccati方程展开法。利用该方法,获得(2+1)-维广义Broer-Kaup方程的许多有趣的新的类孤波解和有理解,当把解中的某些任意函数取为行波变换时,还可得到许多具有重要物理意义的行波解;(ⅲ)构造了四类(1+1)-维孤子方程的三种显式的N-重Darboux变换,利用这些变换,获得了它们以及(2+1)-维Kadomtsev-Petviashvili方程和修正的Kadomtsev-Petviashvili方程的有趣的(2N-1)和(2N)-孤子解,而且所有的变换和解都用类-Vandermonde行列式表示,使得其形式相当的简洁。 近年来,人们对孤子和可积系统理论中的非等谱演化方程,即其相应谱问题具有时间依赖的谱参数η,越来越感兴趣。第四章给出了两类演化方程u_t=F(x,t,u,u_x,…,u_x~k)和u_(xt)=G(x,t,u,u_x,…,u_x~k)在假设η为x,t的可微函数下描述伪球曲面(几何可积)的完整刻画。因此提供了一个系统的程序确定一个非等谱线性问题,使得它是给定的非等谱演化方程的可积性条件。从而为解决可积系统理论中的核心问题之一:给定一个非线性微分方程,判断它是否Lax意义下可积,即是否可写成一对线性问题的可积性条件提供了一种重要的几何途径。上述内容形成本文的第一部分。 微分方程的群分类,特别是完备的群分类是微分方程群理论分析领域经典而又非常困难的问题之一。第五章利用相容性方法以及附加的等价性变换,给出了一类带有变系数函数f的(1+1)-维非线性电报方程f(x)u_(tt)=(H(u)u_x)_x+K(u)u_x的完备群分类。结果获得了大量新的有趣的具有非平凡变系数函数的非线性不变模型,它们都具有非平凡的对称代数,而且这些对称代数至多是五维的。作为上述分类结果的应用,还给出了非线性电报方程u_(tt)=(H(u)u_x)_x+K(u)u_x的完备群分类。另外,还研究了所有不变模型的附加的等价性变换,并且通过利用这些附加的等价性变换,古典Lie约化方法以及一般条件对称方法,给出了某些特殊的变系数非线性不变模型与非线性电报方程的精确解和泛函分离变量解。最后还给出该类变系数非线性电报方程在等价性变换群下具有零阶特征的局部守恒律的分类。 第六章利用古典无穷小算法,等价性变换技巧和低维抽象李代数的分类理论给出了一般KdV-类非线性演化方程u_t=F(t,x,u,u_x,u_(xx))u_(xxx)+G(t,x,u,u_x,u_(xx))在四维及四维以下李代数下不变的群分类。证明了只存在三个不等价的方程在三维单李代数下不变,而且进一步证明在所有半单李代数下不变的不等价方程只有这三个。另外,还证明了存在两个,五个,二十九个和二十六个不等价的方程分别在一维,二维,三维和四维可解李代数下不变。第五和第六章形成了本文的第二部分。


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