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非线性偏微分方程求解和对称约化

智红燕  
【摘要】: 本文根据数学机械化思想,以符号计算软件为工具,研究了非线性发展方程的求解问题,提出和改进了一些求解非线性发展方程的方法,并在符号计算系统Maple上予以机械化实现。同时讨论了高维非线性方程的对称约化问题,给出了求Lax可积系统的Lie变换群的直接法的群论解释,进而改进了该方法。 第一章介绍了孤立子理论,数学机械化与符号计算,非线性发展方程(组)精确求解的历史和发展现状以及微分方程的对称理论,同时介绍了国内外学者在这些学科领域所取得的成果。最后介绍了本文的主要工作。 第二章主要阐述了求解非线性偏微分方程(组)的AC=BD模式,C-D对理论的基本内容和思想。基于AC=BD理论和微分伪带余除法,提出了一个直接构造算子C的算法。利用该算法得到的变换C不仅涉及到原方程的因变量,还涉及到自变量。该算法不仅可以处理连续系统,还可以处理离散系统。通过举例发现已存在的Backlund变换,Cole-Hopf变换,函数展开法,楼直接法,Burgers方程展开法都是这个算法的典型范例。并以此为基础,将楼直接法推广应用到微分-差分系统中去。最后将AC=BD理论应用于非线性偏微分方程的对称分析,丰富了AC=BD理论。 第三章基于将非线性发展方程精确求解代数化,算法化,机械化的指导思想和AC=BD理论,针对行波解的计算问题,首先提出了三Riccati方程展开法,并将其进一步推广。分别应用到高阶Schrodinger方程和经典的Boussinesq方程,得到了更丰富的精确解。其次提出了tanh-sech组合法,以(2+1)-维Burgers方程为例,验证了该方法的有效性。最后对求解微分-差分方程的双曲函数展开法作了进一步推广,将其应用于求解(1+1)-维Toda晶格方程和Volterra晶格方程,得到了新的精确孤波解。 第四章以求非线性发展方程的非行波解为目的,首先将古典Lie对称方法与新的构造性算法相结合,研究了(2+1)-维非线性立方Schrodinger方程和Davey-Stewartson方程,获得了部分新形式解。其次将求非线性发展方程精确解的广义射影Riccati方程法与求对称变换群的楼直接法框结合,研究了(2+1)-维色散长波方程,得到了一些新的类孤波解。 第五章考虑高维非线性发展方程及其Lax对的古典Lie对称约化问题。分别给出了(2+1)-维Konopelchenko-Dubrovsky方程,色散长波方程和五阶Sawada-Kotera方程及其Lax对的对称约化。通过比较约化的方程和约化的Lax对的相容性条件,发现对于某些方程及其Lax对,约化后的Lax对恰是约化后方程的Lax对,而对于另一些方程及其Lax对,情况则不然。当约化的Lax对是约化方程的Lax对时,则约化的Lax对就是约化方程的谱问题。这里的谱参数恰好是Lax对中特征函数容许的一个无穷小生成元。最后,基于Lie对称群理论给出求Lax可积方程的对称变换群的直接法的群论解释,并改进了该方法。


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