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多变量的对偶Toeplitz算子及Hankel算子乘积

尚书霞  
【摘要】: 函数空间上的算子理论因为与算子理论、算子代数、函数论、微分方程、复分析、微分拓扑等数学分支的紧密联系和在控制理论与应用、量子力学、概率统计等学科中的广泛应用而成为算子理论和分析领域的热门研究方向.Toeplitz算子和Hankel算子是函数空间上两类重要的算子,它们对算子理论、算子代数和复分析有极其深刻的影响,因而吸引了众多学者的关注. 上个世纪五十年代以来,数学家对Toeplitz算子和Hankel算子的研究热情持续升温,并取得了大量重要的成果[1—7].特别是单位圆盘Hardy空间和Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子已经被人们深刻理解,并在数学领域和工程技术领域中得到了广泛的应用.但对于多变量的Toeplitz算子和Hankel算子还有很多基本问题没有解决,对它们的研究也变得更加困难.一个很重要的原因就是高维区域的拓扑边界变得非常复杂以及多元复分析理论在其中的应用也更困难.本文主要研究的是多变量的对偶Toeplitz算子的交换性和代数性质,以及Hankel算子乘积的有界性和紧性.本论文的结构安排如下: 第一章回顾有关乘法算子、Toeplitz算子、对偶Toeplitz算子和Hankel算子的背景知识,给出了几种常见的算子乘积,包括Toeplitz算子乘积、Hankel算子乘积和Haplitz算子乘积等. 第二章研究了多圆盘Bergman空间的正交补空间(L_a~2(D~n))~⊥上对偶Toeplitz算子的交换性、本性交换性和本性半交换性等.首先,利用正规化再生核K_w的特殊性和解析函数的平均值性质,建立了秩为一的算子K_w(?)K_w与Toeplitz算子之间的联系,把算子K_w(?)K_w表示为有限个Toeputz算子乘积的有限和形式,同时定义了(L_a~2(D~n))~⊥上的算子L_w.其次,利用算子K_w(?)K_w的Toeplitz算子乘积的有限和形式,给出了两个对偶Toeplitz算子可交换的充分必要条件.在此基础上研究了对偶Toeplitz算子的正规性,得到了对偶Toeplitz算子是正规算子的充分必要条件.最后,给出了两个对偶Toeplitz算子本性可交换的充分必要条件和本性半交换的充分必要条件. 第三章研究了多圆盘Bergman空间的正交补空间(L_a~2(D~n))~⊥上对偶Toeplitz算子的代数性质,比如:有界性、紧性和谱性质等.Brown和Halmos[3]证明了经典Hardy空间上只有零算子才是紧的Toeplitz算子,并且证明了Toeplitz算子有界等价于它的符号是有界的.对Bergman空间上的Toeplitz算子这显然是不正确的.事实上,Bergman空间上存在大量的无界函数诱导的有界Toeplitz算子.首先,我们证明了只有零算子是紧的对偶Toeplitz算子,同时给出了以平方可积函数为符号稠定义的对偶Toeplitz算子有界当且仅当它的符号函数是本性有界的.其次,在由所有有界对偶Toeplitz算子构成的对偶Toeplitz代数上构造了一个符号映射,利用此符号映射给出了有限个对偶Toeplitz算子乘积为0的必要条件.最后,讨论了对偶Toeplitz算子的谱性质,给出了谱嵌入定理,并且给出例子证明了对偶Toeplitz算子的谱和本性谱有可能是不连通的. 第四章研究了多圆盘Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子乘积,给出了各种算子乘积有界和紧的充分条件和必要条件.首先,利用第二章给出的Bergman空间L_a~2(D~n)上的算子K_w(?)k_w的表达式,得到了以平方可积函数为符号稠定义的算子乘积H_fH_g~*有界的充分条件和必要条件,并且这个必要条件很接近充分条件.其次,给出了算子乘积T_fH_g~*和H_gT_(?)有界的充分条件和必要条件,形式与算子乘积H_fH_g~*的有界条件是相似的.最后,讨论了算子乘积H_fH_g~*的紧性,得到了它的充分必要条件,类似地给出了算子乘积T_fH_g~*和H_gT_(?)是紧算子的充分必要条件. 第五章研究了单位圆盘加权Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子的乘积.加权Bergman空间A_a~2是D上关于测度dA_a(z)=(a+1)(1-|z|~2)~adA(z)平方可积的解析函数空间,k_w~(a)是加权Bergman空间A_a~2的正规化再生核.首先,在加权Bergman空间上将秩为一的算子k_w~(a)(?)k_w~(a)表示成了Toeplitz算子的级数和形式,从而把这个算子和Toeplitz算子又一次紧密联系了起来.特别是,当权a为非负整数时,这个表达式是Toeplitz算子有限乘积的有限和形式.在此基础上得到了算子乘积H_fH_g~*有界的充分条件和必要条件.其次,给出了算子乘积T_fH_g~*和H_gT_(?)有界的充分条件和必要条件.最后讨论了,当权a为非负整数时,算子乘积T_fT_(?)和H_fH_g~*的紧性,得到了它的充分必要条件,同样也得到了算子乘积T_fH_g~*和H_gT_(?)是紧算子的充分必要条件.


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