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孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构

于发军  
【摘要】: 本文研究的主要内容包括:运用李代数,首先给出一些方程族的可积耦合系统的构造模式,并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连续和离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外,还介绍了孤子族的生成及Hamiltonian结构,Liouville可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方程的分数阶Hamiltonian结构。其具体内容为: 第一章介绍了孤立子理论,可积系统,非线性发展方程精确求解,分数阶微积分的历史发展及研究现状,同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。 第二章简要的介绍了Kac-Moody代数,Hamiltonian函数的概念及相关的性质。详细的阐述和介绍了AC=BD理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。 第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵Lax可积方程族,并获得它的Hamiltonian结构。另外从Lax对出发,采用提出的谱扩张方法得到了许多新的可积耦合方程族,在此基础上,把这种方法推广到高维空间,并获得了一系列的多分量可积耦合方程族。但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的Hamiltonian结构(尤其是多分量可积耦合方程族的Hamiltonian结构),针对此问题,文中给出广义的killing内积,并且运用广义的二次迹恒等式获得了多分量耦合系统的Hamiltonian结构。其中给出了多分量Jaulent-Miodek方程族,多分量2+1维GJ方程族和耦合Dirac方程族的Hamiltonian结构。另外利用一个广义的矩阵谱问题,得到了耦合方程族的R-矩阵。其中以AKNS族为例,得到了耦合AKNS方程族的R-矩阵。 第四章从loop代数(?)_1的一个子代数出发,利用屠格式求出了一类离散情形Lax可积耦合的系统,并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统,另外我们还提出了2+1维非等谱离散可积耦合形式,利用谱参数λ满足的非等谱条件,得到了Blaszak-Marciniak晶格方程的耦合系统。国际著名杂志《Physics Letters A》的编委A.R.Bishop对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation,itis an interesting and important work”。另外,进一步考虑了离散系统Darboux变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系,通常人们采用的是对势函数作变换,而文中采用对算子作变换,利用计算机软件通过比较算子的系数,得到了很好的结果,并且把一个新的离散方程转化成AKNS方程。这样做不仅可以建立离散与连续方程之间的关系,更重要的是可以通过连续型方程的精确解(解析解)获得相应的离散方程的数值解,这样就可以得到更多,更好的数值解。 第五章在整数情形可积系统的基础上,进一步考虑分数形的Hamiltonian结构,文中运用了外微分与分数阶微积分结合,给出了分数空间和分数形式的Hamiltonian形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到分数情形,建立一套分数阶Hamiltonian结构和可积系统。我们已经完成了分数阶零曲率方程的构造,得到了分数阶情形的AKNS方程和C-KdV方程,并且给出了它们简单形式的Hamiltonian函数。另外利用Riemann-Liouville分数阶算子和分数形式的Possion括号,把Hamiltonian结构的辛形式推广到分数阶情形。


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