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概率结构优化设计的高效算法研究

易平  
【摘要】: 由于能源资源的短缺、企业间竞争的加剧,近年来,优化设计的研究和应用得到前所未有的重视。实际工程中存在大量的不确定性因素,人们意识到结构优化中必须引入考虑不确定性因素的数学模型,概率结构优化设计就是其中广泛应用的一种模型。由于概率优化设计中的概率约束评定和优化设计都需要迭代求解,计算量很大,这限制了其在工程中的应用。因此,研究概率结构优化设计的高效稳定算法具有非常重要的意义。 本文采用最近提出的功能度量法评定概率约束,在给出当前设计点的近似概率功能度量及其灵敏度的基础上构造了新的序列近似规划算法;在构造和完善算法时发现无论功能函数值在随机变量均值点为正还是为负,都应该用功能函数的极小值来确定概率功能度量,纠正了文献中的错误;然后引入混沌控制策略,较好地解决了因为概率约束迭代求解的振荡、混沌等不收敛现象导致优化失败的问题;由于这些处理方法,这一算法不仅实现了外层结构优化和内层概率功能度量计算的同步收敛,显著提高了计算效率,而且较少依赖于随机变量的分布类型和目标可靠度的大小,与现有算法相比,高效、稳定且可靠。本文围绕这一算法的建立和应用开展的一系列研究工作具体总结如下: 1.详细研究了可靠指标法(RIA)、功能度量法(PMA)两种方法中可靠指标求解、概率功能度量求解的相应迭代格式,分析了两种方法描述概率约束的特点,尤其是澄清了概率功能度量求解优化模型提法的问题。在RIA方法中,通常得到正的可靠指标。但如果功能函数值在原随机变量空间的均值点为负(失效概率大于50%),可靠指标应该冠以负号。有文献认为,与此相应,在PMA法中计算概率功能度量时也需要根据可靠指标的正负号,求功能函数的极小或极大值。笔者通过算例计算和图形分析证实:功能函数值在原随机变量空间的均值点为负即负可靠指标时,用极大化功能函数值求解概率功能度量可能会将不满足的概率约束错误判断为满足,若仍然用极小化则能得到与RIA等效的正确结论。然后简单证明了这个观点,结合文献已有证明,得出结论:无论功能函数值在原随机变量空间的均值点为正还是为负,都应该用功能函数值的极小值来确定概率功能度量。这一结论澄清了采用PMA描述概率约束进行优化设计时必须解决的一个问题,为建立正确有效的优化算法提供了基础。(第二章) 2.为了解决概率结构优化设计传统两层次优化模型计算量大的缺点,论文将成功应用于确定性结构优化问题求解的序列近似规划(SAP)策略引入到基于PMA的概率结构优化设计中,通过构造和求解一系列的近似规划问题以获得原问题的解。在近似规划模型中,与通常的Taylor线性近似不同的是,采用近似的概率功能度量及其灵敏度而不是当前设计点的精确概率功能度量及其灵敏度来构造概率约束的线性近似。论文证明了在最优点附近两种线性近似仅相差一个二阶小量。最后编制程序实现了这一算法,并与通用软件实现连接,可用来求解工程实际结构的概率优化设计。通过对文献中多个常见算例,包括一个有144个功能函数的算例的分析计算,验证了该序列近似规划算法实现了外层结构优化和内层概率功能度量计算的同步收敛,和其它方法相比,该方法是正确的、高效的,目标可靠度的高低和随机变量的分布类型对这个结论基本上没有影响。(第三章) 3.从混沌动力学理论出发,分析功能度量法中改进均值(AMV)迭代格式求解的周期振荡、混沌等收敛失败问题;然后介绍离散动力系统混沌反馈控制的稳定转换法,利用稳定转换法对AMV迭代格式实施收敛控制,使嵌入周期和混沌轨道的不稳定不动点稳定化,获得稳定收敛解,从而使概率约束的评定能正常进行;最后再由两层次算法或序列近似规划算法进行概率结构优化设计。算例结果表明:引入混沌控制策略能够比较顺利地解决因为概率约束迭代求解的振荡、混沌等不收敛现象导致优化失败的问题,实现收敛控制;引入混沌控制策略的序列近似规划算法相对两层次算法仍有相对高效的优点。另外,对于被认为难于处理的均匀分布随机变量的概率优化问题,混沌反馈控制的稳定转换法提供了一条较有效的求解途径。(第四章) 4.采用概率可靠度理论处理区间不确定性问题的可靠性评定和优化设计。论文首先针对文献中基于区间模型建立的非概率可靠性度量方法进行讨论,指出其实质就是“最坏的情形也不失效的结构才可靠”,追求的是结构的绝对安全。然后基于凸集合模型仿照建立了非概率可靠性指标,该可靠性指标忽略工程实际中发生概率较小的一些边缘事件,避免了基于区间模型建立的可靠性指标过于保守的缺点。由于在只知道变量所在区间时,可以证明使得信息熵最大(最保守)的概率分布是均匀分布,也由于论文建立了处理均匀分布随机变量的概率优化问题的较好算法,本文假设区间变量为均匀分布随机变量,采用概率可靠度理论来处理区间不确定性。数值计算表明得到的概率可靠性指标和基于凸集合模型的非概率可靠性指标意义上比较接近。最后在这三种可靠性提法下进行基于区间不确定性的结构优化。通过算例的分析、比较得出相同结论:概率模型的优化计算结果和凸集合模型比较接近,且相对区间模型结果要没那么保守。(第五章) 本论文工作得到国家自然科学基金(编号:10332010,10672030)、国家重点基础研究发展计划(2006CB601205)以及国家创新团队计划(编号:10421002)的资助,在此一并表示感谢。


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