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脉冲微分方程在生物经济学中的应用

焦建军  
【摘要】: 脉冲微分方程的理论与方法在近三十年的研究中得到不断的完善,已经形成了一个比较完整的体系。微分方程数学模型在描述种群动力学行为中起到了非常重要的作用,它从数学的角度解释各种种群动力学行为,使人们科学地认识种群动力学,从而对某些种群进行有目的地控制。特别是脉冲微分方程来描述种群动力学行为更为合理,更加精确地反映各种变化规律,因为现实世界中的许多生命现象和人类的开发行为几乎都是脉冲的。本文主要考虑固定时刻脉冲作用下的阶段结构时滞捕食-食饵系统的动力学性质、状态脉冲下阶段结构单种群系统的动力学性质、固定时刻脉冲作用下的传染病系统的动力学性质。以脉冲动力系统理论为基础,同时结合离散动力系统、连续动力系统、算子理论、优化理论等相关的理论和方法,在已有的研究成果的基础上,研究这些模型的边界周期解的局部和全局渐进稳定性、系统的持续生存、周期解的存在性与唯一性以及周期解的轨道稳定性等等。全文共分为四章。 第一章简单介绍了种群动力学和传染病动力学的有关研究现状及本文的主要工作,并且给出了微分方程和脉冲微分方程的一些重要的定义和预备知识。 第二苹以农业生产中的生物资源管理为应用背景,研究了两个阶段结构时滞捕食-食饵系统。在本章第一节中,构建了一个捕食者具阶段结构与食饵具脉冲扰动的时滞捕食-食饵系统,其中捕食者捕食食饵是为了增强体质。利用脉冲微分方程比较定理,得到了系统的捕食者灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件,同时也得到了系统持续生存的充分条件。在本章第二节中,我们又构建了一个捕食者具阶段结构与食饵具脉冲扰动的捕食系统,其中捕食者捕食食饵是为了增强生育能力。利用脉冲微分方程比较定理,得到了系统的捕食者灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件,同时也得到了系统持续生存的充分条件。 第三章以农业生产中的害虫治理为应用背景,研究了一个捕食-食饵系统和两个传染病动力系统。在本章第一节中,构建了一个食饵具阶段结构与捕食者具脉冲扰动的时滞捕食-食饵系统,利用脉冲微分方程比较定理,得到了系统的食饵灭绝边界周期解是全局吸引的充分条件,同时也得到了系统持续生存的充分条件。在本章第二节中,构建了一个脉冲综合治理害虫的传染病模型,即通过同时喷洒生物农药与投放病虫,致使易感害虫种群感染传染病,成为患病害虫,从而使害虫失去对农作物的破坏力,达到害虫治理的目的。利用Floquet定理和小参数扰动技巧,得到了易感害虫灭绝周期解稳定的临界条件。在本章第三节中,构建了一个脉冲综合治理害虫的传染病模型,即通过不同时刻的喷洒生物农药与投放病虫,致使易感害虫种群感染传染病,成为患病害虫,达到害虫治理的目的。利用Floquet定理和小参数扰动技巧,也得到了易感害虫灭绝周期解稳定的临界条件。 第四章以渔业生产为应用背景,研究了状态依赖收获与放养的阶段结构单种群系统。利用不动点理论讨论了周期解的存在性、唯一性以及周期解的轨道稳定性。


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