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生物动力系统中的时滞效应

孟新柱  
【摘要】: 时滞微分方程数学模型在描述生物动力学行为中起到了非常重要的作用。它从数学的角度解释许多种群之间及种群与环境之间的动力学行为,有助于人们科学地认识生物动力学,从而对某些种群之间以及种群与环境之间相互作用进行有目的地控制。本文针对时滞种群动力系统的概周期和时滞脉冲动力系统中的种群控制的几个问题,利用时滞泛函微分方程及脉冲微分方程的相关理论和方法建立了相应的动力学模型,同时讨论了所提模型的一些动力学行为,包括概周期解的存在性与稳定性,半平凡周期解的存在性与吸引性、系统的持久性与灭绝以等动力学的行为,并讨论其生物学意义。所得主要结果概括如下: 第二章研究非自治时滞概周期种群动力系统。第一节研究一类非自治Lotka-Volterra包含连续时滞与离散时滞的捕食扩散系统。运用时滞泛函微分方程的基本理论讨论了时滞对系统持续生存的影响,利用构造适当的Lyapunov泛函来证明系统的全局渐近稳定性,运用概周期泛函的壳方程理论来获得概周期解的存在惟一性条件。解决了高维多时滞扩散动力系统运用以前的方法不能解决的难题,同时改进了以前一些已知的结果。第二节研究纯时滞积分微分Logistic概周期系统的动力学行为。用时滞泛函微分方程的定性理论得到了系统有界的较弱的条件,并运用微分中值定理及有关时滞微分方程的计算技巧,我们获得了在系统有界这样弱的条件下就能保证系统全局渐近稳定的结论。同样运用关于概周期泛函的壳方程的引理直接分析系统的右端泛函来讨论概周期系统的严格正概周期解的存在惟一性,所得结果去掉了以前已知的一些结论中多余的限制条件,并回答了一个Seifert提出的公开问题。 第三章讨论脉冲时滞种群动力系统。第一节研究一个具有一般功能反应,捕食者具有成熟期时滞的阶段结构且脉冲收获食饵的捕食系统。利用离散动力系统的频闪映射获得”捕食者灭绝”周期解,并利用脉冲时滞微分方程的比较定理及不等式的技巧,证明了该周期解的全局吸引性,给出了与时滞有关的系统持续长久生存的条件。解释了大量捕杀害虫可使天敌首先灭绝最后导致害虫泛滥的生物现象。并给出数字分析及借助计算机模拟说明脉冲及时滞对种群动力学的影响。第二节研究了害虫(食饵)具有阶段结构及成熟期时滞,脉冲周期地投放天敌,S型Holling功能反应的捕食模型。利用脉冲时滞微分方程的基本理论,通过脉冲投放天敌获得了与时滞有关的害虫灭绝的条件以及当害虫被控制在作物经济危害水平之下,天敌的最小投放量与最长投放周期,并利用数值模拟来说明我们上述害虫管理策略的合理有效性。第三节发展了经典的Monod恒化器模型,考虑了一类新的污染环境下具有时滞增长反应及脉冲输入的Monod恒化器模型,并且分析了培养基的脉冲干扰,时滞增长反应以及有害物质的脉冲输入对恒化器系统的动力学行为的影响。结果表明微生物的灭绝与否决定于在每一次nT时刻的营养液的脉冲输入量及同时伴随的有害物质的脉冲输入量。分析得出没有污染的恒化器环境有利于微生物的培养,而污染的环境可能导致微生物的灭绝。这表明伴随着有害物质输入对恒化器模型的动力学行为产生了重要的影响。 第四章研究脉冲免疫接种、时滞及垂直传染对SEIR及SEIRS流行病动力系统的影响。第一节和第二节分别讨论了具有垂直传染和脉冲免疫的时滞SEIR及SEIRS传染病模型。发展了经典的SEIR及SEIRS传染病模型,并克服了混合脉冲干扰条件带来的困难。第一节和第二节分别利用离散动力系统的频闪映射获得”无病”周期解,并讨论了该周期解的全局吸引性,给出根除疾病的理论依据。在可能形成地方流行病的情形下,用定性分析的方法证明了该系统的持续生存性,讨论了脉冲接种免疫策略。通过数值模拟显示了脉冲接种、两个时滞及垂直传染对系统动力学的影响。


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