Stokes流问题中的辛体系方法

【摘要】： 在化学工程、环境工程、物理化学、生物力学、地球物理、气象等领域中大量的问题归结为粘性流体问题。因而近百年来对这个问题的研究一直没有间断,并且随着其广泛应用,近几十年来发展成为了一个比较活跃的领域和方向。Stokes流是粘性流体问题的主要的和经典的流动模型。在该问题的研究中,传统的方法是在拉格朗日体系下欧几里德空间中进行问题的求解,不可避免地带来了高阶偏微分方程的求解和边界条件处理难等问题。因此针对此问题探讨一种新的和有效的求解方法是必要的。 本文从不可压缩牛顿流体的本构方程和Stokes方程出发,借助于耗散能导出问题的哈密顿作用量,即拉格朗日函数,从而获得哈密顿密度函数。进一步利用变分方程,建立了正则(对偶)方程组。这样将辛体系(哈密顿体系)的理论引入到了平面和空间Stokes流问题中。在辛空间中,问题的求解归结为正则方程的本征值与本征解的问题。利用本征解之间的辛共轭正交归一关系和其完备性,原问题的解可以由本征解的线性组合表示。结合边界条件可确定解析解和半解析解,从而建立了一套辛体系求解方法。 本文以二维和三维问题的Stokes流问题作为首要研究对象,并对非定长小雷诺数流问题进行了探讨。主要研究工作如下:首先,将辛体系引入到二维Stokes流问题中,并研究了板驱动流动、剪切流动、入口流动及二维管道流动等问题,得到了问题解的解析表达式,并进行了数值计算,给出了流场的速度、应力、压强等的物理特性,同时还给出了流线图、矢量图。在分析了数值结果的基础上,揭示了Stokes流的流动机理,特点及流动的端部效应等现象。其次,将辛体系方法推广到空间Stokes流问题中,并求解出零本征值本征解和非零本征值本征解。研究了空间问题中本征解之间特殊的辛正交共轭关系,给出了各阶非零本征解的模态。研究了空间入口流问题中入口长度和入口半径之间的关系曲线,得到一些规律。对端部旋转板引起的空间流动问题也进行了研究和讨论。最后,对非定常小雷诺数流问题进行了探讨。 研究结果表明,对偶方程(正则方程)的本征解具有明确的物理意义:零本征值本征解描述了基本的流动,而非零本征值本征解则显示着局部效应的特点,它可直接描述边界效应及其衰减过程。辛体系方法是一种简单、直接、高效的求解方法。它同时也为其它问题的研究提供了一种思路。