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非线性矩阵方程X+A~*X~(-n)A=Q的理论与数值解法

郑营  
【摘要】: 本文讨论非线性矩阵方程X+A~*X~(-n)A=Q的正定解,其中A是m×m阶复矩阵,Q是m×m阶正定矩阵,n是正整数。求解非线性矩阵方程是数值代数研究的重要领域之一,其最大正定解的应用特别广泛。这类方程一般存在最小正定解,当n>1时,不一定存在最大正定解,但是可能存在极大正定解。本文主要研究最小正定解、极大解的存在性及解法。 第1部分介绍了这类非线性矩阵方程的来源和研究的主要成果,列举求解矩阵方程X+A~*X~(-n)A=Q的主要方法,并交待本文所用的记号和预备知识。 本文的主要结果在第2部分。第1节介绍求方程正定解的两种方法,当A非奇异时,这两种方法均可以求出最小正定解,当A奇异时,推导出了利用这两种方法求方程极小正定解的条件。第2节讨论方程极大解的性质和解法。首先找到方程存在正定解的一个充分条件,然后讨论极大解的性质,这两个结论的推导过程提供了两种求极大解的方法,一个是应用基本不动点迭代的方法,第二个是应用无逆不动点迭代的方法,并且文中给出了第二种方法收敛性的证明。然后本文构造了求解矩阵方程X+A~*X~(-n)A=Q的Newton迭代法,采用Brouwer不动点定理证明了Newton迭代法是可以不断地进行下去的,并且证明解此方程的Newton迭代法具有二次收敛性。基于Newton迭代法的形式,给出了另外一种较简易的迭代法。这两种方法都可以求出方程的极大解。 第3部分针对Newton迭代程序的每一步都需要求解的一类广义Sylvester矩阵方程给出具体解法,分别讨论利用简单迭代法、Gmres方法和CG法求解的可行性,并证明了它们收敛到这一方程的Hermite解。 第4部分是数值试验。利用数值例子验证了文中所得的结论的正确性以及求解方法的有效性,同时也比较不同解法求同一个解时的步数、精度和时间。


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