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非线性微分方程求解和群分析

宋丽娜  
【摘要】: 非线性微分方程一直以来都是备受关注的研究对象.本文基于数学机械化思想,以计算机符号计算软件为工具,围绕非线性微分方程这一课题开展了三个方面的研究:非线性发展方程的精确解;非线性分数阶微分方程的近似解;非线性微分方程的群分析. 本文由以下五章组成: 第一章介绍本文所涉及的学科:数学机械化、孤立子理论、分数微积分和分数阶微分方程、微分方程群理论分析的历史发展及现状,同时介绍了国内外学者在这些领域所取得的成果.最后,介绍了本文的主要工作. 第二章介绍本文的理论基础:AC=BD理论和微分伪带余除法,并且阐述在AC=BD这一理论框架下的微分方程精确解的构造问题. 第三章是在第二章理论的指导下,基于将非线性发展方程精确求解代数化、算法化、机械化的思想,提出两种求解非线性发展方程精确解的有效算法:第一种是广义的有理形式展开法,该方法是对已有的有理形式展开法的扩展,本章以高维耦合Burgers方程为例,验证了该方法的有效性;第二种是基于变系数Korteweg-de Vries(KdV)方程的子方程法,该方法用变系数KdV方程取代常微分方程作为辅助方程,本章应用该方法获得3+1维potential-YTSF方程的精确解. 第四章是关于非线性分数阶微分方程的近似求解.首先介绍了本章涉及到的分数微积分的定义及其性质,然后介绍了非线性分数阶微分方程近似求解的方法及其应用.本章应用变分迭代法、Adomian分解法和同伦摄动法获得非线性分数阶Sharma-Tasso-Olever(STO)方程的有理近似解,并且通过对具体的数值、绝对误差和图形的分析,阐述这三种方法的自身特征、有效性和可靠性.本章将用于求解整数阶微分方程精确解和数值解的同伦分析法应用到非线性分数阶Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBM-Burgers)方程中,获得其近似解. 第五章主要研究非线性微分方程的群分类和守恒律分类.首先介绍标准型和符号计算软件Maple中的软件包K_(IF)S_(IMP),此软件包可以化超定的微分方程组为标准型.本章成功地利用软件包R_(IF)S_(IMP)获得非线性变系数电报方程,f(x)u_(tt)=(H(u)u_x)_x+h(x)K(u)u_x的群分类,并且给出在等价变换群下该方程的守恒律分类.


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