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低次样条函数空间结构与代数曲线不变量

刘宇  
【摘要】: 样条作为计算几何中表示和逼近几何对象的基本工具,在很多工程领域有着重要而广泛的应用.鉴于客观事物的复杂多样性,开展多元样条函数的研究,无论是理论上还是应用上都有着重要意义.代数曲线一直是数学领域中一个重要的研究对象.它在基础数学(代数几何、超越数等)和应用数学(插值与样条、计算机辅助几何设计、逼近论以及机械化证明等)方面都有着重要的应用.因此,代数曲线性质特别是它的内蕴性质的研究具有非常重要的现实意义.但无论多元样条或者代数曲线,都有许多问题值得进一步研究.本文的主要工作如下: 在第二章中,利用了罗钟铉提出的模中生成基的方法及结构矩阵的概念,对任意三角剖分下S_2~1(△)及S_3~1(△)空间的维数进行了讨论.众所周知,在多元样条位数的研究中,对于次数d相对光滑度r较大的情形,已经有了许多的结论,如d≥3r+2的情形.但实际应用中,由于低次样条计算简单和稳定,人们对低次样条空间更感兴趣.例如r=1时,d=2,3的情况.而S_3~1(△)的情形则至今悬而未决,人们既不能给出其维数也不知道其维数是否依赖于剖分的几何形状.确立任何三角剖分下样条函数空间S_3~1(△)的维数遇到了难以想象的困难,为解决这一问题,罗钟铉提出了模中生成基方法,该方法获得的一个内网点处的协调方程的生成基在一般情况下由若干个一次和零次的模中多项式向量所构成,因此对于研究多元样条函数空间带来很好的便利条件.本章正是利用此种方法,通过对剖分网点,网线的编号,将结构矩阵与剖分的拓扑结构联系起来,得到了判断任意三角剖分下S_2~1(△)及S_3~1(△)空间非奇异性的充分条件.事实上,样条函数空间的非奇异性是指样条函数空间的维数等于其下界,因此,以光滑余因子的角度来看,判断样条函数空间的奇异性就要求出整体协调方程系数矩阵的秩,这就需要大量的代数运算.而本章的判定方法仅依赖于剖分的拓扑结构,因此更便于应用.为了更好的说明我们的结论,一些具体的例子在本章中也给出.在本章的最后一节,应用已有的结论,给出了一种基于平面散乱点的三角剖分构造方式,而且按照这种方式构造出的三角剖分,其上的S_2~1(△)及S_3~1(△)空间是非奇异的. 在第三章中,给出关于任意n次代数曲线特征数的完全证明,并讨论了其相关的性质.同时探讨特征数及其相关结果在三次代数曲线中的应用.关于代数曲线的内蕴性质的研究,最早可以追溯到Pascal定理,该定理表述如下:内接于不可约二次曲线的六边形,其三对对边的三个交点必共线(或在一条直线上).从已有文献知道该定理至今有许多版本的推广形式和猜想,比如三次曲线的Chasles定理和高次曲线中的Cayley - Bacharach定理等(参见和其中的文献).但至今所有的推广并不具备Pascal定理的原始形式,即Pascal定理中的共线的三个点是由落在二次曲线上的三对点的连线的交点所得.我们所期望的Pascal定理的推广形式具有类似于Pascal定理的原有形式,即它的形式是由高次曲线上的一些相对点的连线的交点或通过一些变换得到的点落在低一次代数曲线上.罗钟铉通过建立代数曲线内蕴性质的研究和二元样条空间结构研究之间的等价关系,并引入特征比,特征映射等新的概念和定义,发现了代数曲线(四次以上为代数曲线的子类)的新的几何不变量-特征数,进而给出了Pascal定理的不同于Chasles定理和高次曲线中的Cayley-Bacharach定理形式的高次推广.本章将证明,特征数及其相关的结论对于任意n次代数曲线同样是成立的,并以特征数的视角重新审视三次代数曲线,其得出的结论与经典代数曲线中的结论是完全一致的,在本章最后,给出了Pascal定理在三次代数曲线中的推广. 在第四章中,讨论了超曲面的内蕴性质.特征数及其相关性质指出了2维射影空间里n次代数曲线和n-1次代数曲线之间的联系.更一般地,高维射影空间里的超曲面之间是否也有内在的类似的关系?本章通过定义m次Pascal超曲面,将Pascal定理推广到n维射影空间的m次超曲面中,证明了n-单纯形上的Pascal点位于一个m次Pascal超曲面的充要条件是其每个2维面上的Pascal点分别位于m次平面Pascal空间的一条代数曲线上.进一步,文中给出了一定条件下m次Pascal超曲面与m-1次Pascal超曲面之间的内在关系.在本章的最后,将Pascal超曲面的相关性质推广到了任意超曲面中.


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