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多体系统数值分析中的违约控制

韩冰  
【摘要】: 多体系统的数学模型通常可以描述为微分一代数形式的动力学方程组(DAES),在求解DAES的过程中,遇到的主要问题之一就是积分过程的违约问题,可以说数值积分过程的违约问题是影响数值稳定性的重要因素。对于多体系统的刚性问题,系统中物体上的点叠加了整体运动和微幅高频振荡,由于求解器中常用的积分格式大都是条件稳定的,在求解多体系统动力学这种高度非线性的刚性方程时,系统常以一个非常不合理的小步长进行积分,有时候会出现数值性态不好、数值解不稳定的情况。鉴于此,有些学者试图采用一种稳定性不受积分步长限制的绝对稳定的数值方法,然而由于多体系统动力学方程是非线性的,这类绝对稳定的方法不一定能保证数值稳定。还有些学者设计了能够在积分过程中保证能量总体平衡的积分方法,这样得到的结果能够使数值解稳定,但是这些方法通常都是用低阶差分代替导数,精度都不高。 当前求解微分方程初值问题的数值方法大多是基于数学的基本理论,通过给出在积分时刻点处的数值积分格式实现求解,积分格式受到差分等式或泰勒展开这样的数学原则的限制。求解的过程中,忽略了方程本身所隐含的力学涵义。从力学方面解释,传统数值方法相当于在积分过程中给系统假定了一组运动模式,强制系统按照这种模式运动进行求解,这种模式相当于给系统添加的一组约束,这组约束如果不断给系统做正功,添加能量,将会导致发散。其实这种约束是不存在的,因此称之为伪约束,由于约束总是通过约束反力的形式体现的,这种伪约束对应的约束反力称为伪约束反力。 本文在力学范畴内引入伪约束力的概念,借助多体系统中邻接物体运动学递推关系,给出了系统伪约束反力的递推公式。利用Cotes积分公式与梯形公式;Simpson积分公式与中心差分格式,导出积分步长内系统的两种假定运动模式,也就是伪约束,在此基础上,通过控制每个积分步长端点时刻系统伪约束反力为零,实现对多体系统动力学方程的数值求解。


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