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基于辛体系的Reissner板弯曲问题的分析解

孙娜  
【摘要】: 传统弹性力学的求解方法以半逆法为主,其思路是尽量削元以减少未知量的数目,这将导致高阶偏微分方程,以至于分离变量及本征函数展开法等有效的数学物理方法难以实施。相对基于单类变量的欧几里德空间,辛对偶求解方法基于两类变量的辛空间,它可通过分离变量,形成辛本征展开的理性求解方法,扩大分析求解的范围。 基于Reissner板弯曲问题的Hellinger-Reissner变分原理,可将Reissner板弯曲问题导入到辛对偶体系,给出其辛对偶方程组,从而可应用有效的分离变量和辛本征函数展开法形成相关问题的理性解析求解方法。在对边自由的辛本征问题中,零本征值是一个特殊的本征值,其对应的本征解具有明确的物理意义,也是构成圣维南问题的基本解;相反非零本征值对应的本征解是具有局部效应的解,其影响随距离迅速衰减,它是由圣维南原理所覆盖的部分。但对板长宽之比较小或其它边界条件的板等,非零本征值的本征解是必须要考虑的。通过将非零本征值本征解的通解代入两侧边相应边界条件可得到关于非零本征值的超越方程和本征解的解析表达式。求得非零本征值和其本征解后,就可依据共轭辛正交性质和本征展开定理给出原问题的分析解。 在已建立的Reissner板弯曲问题的辛对偶体系的基础上,本文讨论了多种不同边界条件组合的Reissner板弯曲问题,提供了更为丰富的Reissner板弯曲问题的分析解。首先,在已有对边固支Reissner板弯曲的辛本征解基础上,具体求解了一对边固支另一对边第一类简支、三边固支一边第一类简支问题的分析解。然后,讨论并给出了对边自由和对边第二类简支Reissner板弯曲问题的非零本征值的本征解,形成相关边界条件Reissner板弯曲问题的辛本征展开通解,并具体求解了一对边自由另一对边固支、四边第二类简支、一对边第二类简支另一对边自由的Reissner板弯曲的分析解。与已有的其它方法的结果对比表明,辛对偶求解方法具有理想的求解精度和收敛速度,是一个非常有效的分析求解方法。


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