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保正的有理三次样条及其逼近性质

尹显文  
【摘要】: 有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广,但由于有理样条空间的复杂性,所以有关它的的研究成果不像多项式样条那样完美,有些问题还值得进一步研究。随着计算机技术的普及和应用的日益广泛,数据的保形插值已经成为计算机辅助几何设计(CAGD)和计算机图形学(CG)领域中受关注的研究问题之一,并在数控机床等工程领域有着重要作用。本文一方面研究了在数控机床等工程领域具有很重要应用价值的数据的保正插值,着重讨论了分母为二次的C~1有理插值样条曲线。另一方面积极地将曲线方面的结果推广到矩形网格上,研究了曲面保正等方面的问题。 本论文的结构安排如下: 第一章简述了计算几何的发展,着重介绍了插值样条,尤其是有理插值样条的发展现状。 第二章构造了一类分母为二次的有理三次插值样条函数,给出了其保正的充分条件,并分析了在被插函数是二阶连续可导情况下的逼近性质,通过数值实验说明该插值函数能够实现保正。 第三章分析了基于算术均差商的有理三次插值样条在被插函数是一阶连续可导和二阶连续可导两种情况下的函数值、一阶导数值以及二阶导数值的有关性质。 第四章将第二章的有理插值样条曲线推广到矩形网格上构造了一种有理插值样条曲面,给出了其保正的充分条件,分析了在被插函数是二阶连续可导情况下的逼近性质,通过数值实验说明该插值曲面能够实现保正。


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