精细积分法在层合板计算中的应用及半解析有限元法边界条件的研究

【摘要】：在计算机出现之前,层合板问题只能用解析的方法求解。随着计算机技术的发展,以有限元法为代表的数值方法得到了广泛的应用。然而为了能够得到可供各种近似解进行比较的精确解,仍有很多研究者致力于精确解的研究,并取得了丰硕的成果。钟万勰教授精细积分法的提出,使得原来解析法获得精确解的能力大大提高了。 本文首先由Hellinger-Reissner变分原理出发,推导出了各向同性层合板带有初应力项的混合状态空间方程。并运用弹性力学方程组一般解的统一理论,给出了该混合状态空间方程解析形式的解,即将三维状态空间方程转化为求解2个偏微分方程和2个未知数。该方法同样可以扩展到各向异性层合板的求解。 然而,从解析求解的过程可以看出,对于各向同性板,给出这样的解析表达式已经相当繁琐;如果想用同样的方法得到各向异性板的解析表达式,将变得更加复杂。人们自然地采用各种微分方程组的数值解法,这样就失去了解析解高精度的优点。精细积分法的提出,为解决该问题提供了一个契机。本文将精细积分法应用于层合板状态空间方程的求解中,在板平面内采用解析函数,而在板厚方向采用精细积分技术,得到了四边简支层合板振动和稳定问题的精确解;通过与解析法的结果进行比较,证明了在板厚方向应用精细积分技术,同样可以达到很高的精度。本论文得到的各向异性四边简支角铺设层合板以及弹性混合板的振动和稳定问题的精确解,为该领域的各种数值计算提供了重要参考。 用解析法求解层合板问题,往往要受到几何形状和边界条件的限制。混合状态Hamiltonian元的半解析法的建立,为层合板问题的求解闯出了一条新路。半解析法求解层合板问题的关键是寻求一种在解析方向,即板厚方向的高精度的数值积分方法。本文将精细积分技术应用于半解析法求解中,该方法可以较方便地得到解析方向上任意点的应力和位移,在程序上也较易实现。 半解析法求解层合结构问题的另一个关键是端部边界条件的处理。本文以二维问题为例,借助Hellinger-Reissner变分原理、状态变量在离散方向的边界值及其所满足的微分方程来实现端部的边界条件。由离散的Hellinger-Reissner变分原理,将得到的混合状态微分方程组的边界点方程进行处理,即代入边界点已知的变量,而对于边界点的未知变量,借助内点的变量和边界点的已知变量表示,并代入与该边界点有关的内点方程。这种处理方法能够准确地满足端部边界条件。本文详细讨论了固支边界、铰支边界和自由端边界的处理方法。用精细积分法计算了固支梁、简支梁和悬臂梁在各种荷载作用下的应力和位移,验证了这种处理方法的准确性。算例显示,对于中高梁,甚至高跨比为1/10000的比较典型的矮梁,第一类精细积分法可以给出很好的结果,没有发现自锁现象;而用于解黎卡提方程的第二类精细积分法适合于计算各种高跨比的梁。