基于平均场理论的颗粒材料离散颗粒集合-Cosserat连续体模型多尺度模拟

【摘要】： 颗粒材料广泛存在于自然界和工程实际中,如岩石、土壤、粮食、药品等。一般说来颗粒材料由随机分布的离散颗粒及其间孔隙流体组成,具高度非均质性。颗粒材料力学行为的理论研究与数值模拟是岩土力学、陶瓷烧制等工程科学中的重要课题,引起了众多研究者的关注。 颗粒材料宏观上通常模型化为连续体,数值模拟一般采用有限单元法(或无网格方法)。连续体途径的优势在于主要未知变量数目依赖于宏观有限单元网格密度,较为有限,因而在工程实际问题中得到广泛应用；缺点在于唯象本构关系包含很多没有物理意义、很难确定的参数。颗粒材料在细观上模型化为离散颗粒集合体,数值模拟采用离散单元法。其优势在于体现材料的离散颗粒本质,能够模拟各种破坏现象；缺点在于应用于实际问题时所需颗粒数目巨大(上亿甚至更多的颗粒),计算量难以接受。颗粒材料的多尺度方法研究则提供了一条能够充分利用二者优势避免各自缺点的途径。 本论文致力于发展基于平均场理论的细观离散颗粒集合-宏观Cosserat连续体模型的多尺度模拟方法,内容包括：(1)推导非均质Cosserat连续体平均场理论的Hill定理,给定合适的表征元(representative volume element, RVE)边界条件；(2)建立细观离散颗粒集合-宏观Cosserat连续体模型的多尺度计算均匀化方法；(3)发展基于细观方向平均模型的颗粒材料宏观Cosserat连续体本构关系。 在平均场理论框架内实施非均质材料的均匀化模拟首先需要提出Hill定理,它为正确给定RVE边界条件提供了依据。基于Cosserat连续介质控制方程,参考经典Cauchy连续体Hill定理,本文推导了非均质Cosserat连介质平均场理论的Hill定理。从该Hill定理出发,详细分析和讨论了各种形式的RVE边界条件,并据此给出了满足细-宏观Hill-Mandel能量等价条件、符合平均场理论基本假定的RVE边界条件,为基于Cosserat连续体模型的细-宏观均匀化模拟提供了坚实基础。 基于经典连续体计算均匀化方法和所推导Cosserat连续介质平均场理论基本公式,本文发展了颗粒材料多尺度计算均匀化方法,细观尺度上采用基于离散颗粒模型的离散单元法,宏观尺度上采用基于Cosserat连续体模型的有限元法。该方法在宏观尺度有限单元内的每个积分点处设定一个反映材料细观离散颗粒微结构的RVE,通过RVE边值问题的计算求解获得材料在该点处的局部宏观响应,包括积分点的应力和切线模量矩阵。详细分析和推导了该计算均匀化方案实施过程中的关键环节,包括RVE边界条件的给定和转换、离散颗粒集合体RVE刚度阵的分块与凝聚、宏观率形式应力和微曲率表达式及其一致性切线模量张量的推导,以及宏观积分点处切线模量矩阵的组集和形成。该方法能够有效计及离散颗粒微结构及其演变信息,而不需要提供复杂的、包含许多没有明确物理意义且不易识别的材料参数的唯象宏观本构关系,并且在模拟材料宏观响应的同时,还能够显示相应的微结构响应特征。数值算例结果显示出所发展方法的有效性和可应用性。 考虑到细观颗粒不仅具有平移自由度,还具有独立的旋转自由度；颗粒间不仅存在接触力还能够传递力矩,基于经典连续体细观微-方向模型(micro-directional model),发展了基于细观方向平均模型的颗粒材料宏观Cosserat连续体本构关系。在细观尺度上考虑了颗粒的旋转自由度及颗粒间接触力矩,RVE内接触分布的概率密度函数体现了材料微结构对宏观各向异性和非均质性的影响,运动学分量的细宏观联系通过Cosserat连续体平均场理论的Hill-Mandel能量等价条件建立。具体给出了均质、各向同性Cosserat连续体弹性常数的细观参数表达式。分别给出了基于离散单元法数值模拟和本文理论公式预测的典型离散颗粒集合体的宏观响应量,二者的一致性说明了所发展模型的有效性。此外,本文所发展理论公式也为合理解释离散单元法数值模拟结果提供了参考依据。