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Bergman空间的不变子空间、约化子空间及其算子

周晓阳  
【摘要】: Bergman空间的不变子空间和约化子空间的研究不仅与算子理论中的不变子空间问题密切相关,也与函数理论、Banach代数以及指标理论等众多数学分支有紧密联系.同时,对控制论、最优化理论、量子力学等其它学科也有广泛和深刻的影响. 本文主要研究Bergman空间的不变子空间、不变子空间上的根算子、约化子空间以及Toeplitz算子的代数性质. 研究了单位圆盘上权为非负整数的加权Bergman空间上的根算子.利用不变子空间的再生核,给出了不变子空间上根算子的定义.通过计算,得到根算子是移位算子乘积的和,并写出了根算子的几种表达式,从而建立了根算子与不变子空间上移位算子之间的联系.利用此关系,获得了根算子的谱性质,证明了根算子是紧的当且仅当不变子空间的指标有限.在此基础上,分别给出了由n个相同的零点、n个互不相同的零点、有限Blaschke乘积生成的三种特殊不变子空间上根算子的秩. 研究了双圆盘加权Bergman空间Aα2(D2)上解析Toeplitz算子的约化子空间和极小约化子空间.利用Bergman空间中的任意一个单项式关于约化子空间的正交分解,分别给出了以为符号的解析Toeplitz算子的极小约化子空间的完全刻画.在多圆盘上,获得了类似双圆盘上极小约化子空间的刻画.利用解析Toeplitz算子的矩阵表示,给出了Toeplitz算子Tzi的不变子空间的Beurling型定理,从而描述此类不变子空间的结构. 研究了单位球的多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子.利用函数理论,得到了两个以多重调和函数为符号的Toeplitz算子的乘积还是一个Toeplitz算子的必要条件,并刻画了某些以多重调和函数为符号的(半)交换Toeplitz算子.


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