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函数空间上Toeplitz算子的亚正规性

石岩月  
【摘要】: 函数空间上的算子理论是算子理论的一个重要组成部分:一方面,函数空间提供了大量具有启发性的例子;另一方面,抽象空间上的许多问题可以模型化为函数空间上的具体问题,例如正规算子的结构就是借助于函数空间上的乘法算子得以清晰刻画的.特别地,源于数学理论自身发展和量子力学、控制理论等应用方面的需求,函数空间上的Toeplitz算子理论研究受到广泛关注. 二十世纪五十年代,Paul R. Halmos以单侧移位算子为模型同时引入了次正规和亚正规算子的概念,1970年,他在文章《Ten problems in Hilbert space》中提出这样一个问题:“是不是每个Hardy空间上的次正规Toeplitz算子要么是正规的要么是解析的?”虽然后来证实这一问题的答案是否定的,但是却引发了人们对亚正规Toeplitz算子的研究Carl C.Cowen率先在Hardy空间上利用换位提升定理给出Toeplitz算子亚正规性的完全刻画.随后,许多学者对三角多项式等特殊函数诱导的亚正规Toeplitz算子进行了更细致的研究.此外,人们还相继刻画了广义Toeplitz算子以及块Toeplitz算子的亚正规性.自然地,人们也在Bergman空间上对亚正规Toeplitz算子进行研究.尽管相关研究已取得一些成果,但是要完全刻画Bergman空间上Toeplitz算子的亚正规性还是非常困难的. 本文主要研究函数空间上Toeplitz算子的亚正规性.第一章,我们回顾有关Toeplitz算子的背景知识及亚正规Toeplitz算子的研究历程.第二章,我们在加权Bergman空间Aα2(D)(其中α-1)上研究Toeplitz算子的亚正规性.首先,我们考察与Hankel算子有关的一些序列的极限性质,证得其极限值与权系数α无关.在此基础之上,我们结合极限的思想给出了以调和函数为符号的亚正规Toeplitz算子的一些性质.特别地,我们对Bergman空间A2(D)上一类以三角多项式为符号的Toeplitz算子进行研究,并利用多项式f和g的导数简洁地刻画了Tf+g的亚正规性.在第二章的最后,我们还讨论了一些由非调和的连续函数诱导的Toeplitz算子的亚正规性,给出相应的等价条件.第三章,我们利用Hankel算子的分块矩阵表示和向量值函数进行研究,完全刻画了多圆盘Hardy空间上Toeplitz算子的亚正规性.作为主要定理的应用,我们构造了一些说明性的例子.


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