样条函数与径向基函数的若干研究

【摘要】： 样条函数与径向基函数在逼近论、数值分析、计算几何和数据处理等领域中均有广泛的应用.在本文中,我们主要针对样条函数与径向基函数的某些问题进行研究,并将其应用于偏微分方程数值求解和电信网络计算中.具体内容概括如下： 第1章,我们介绍一些预备知识,包括样条函数和径向基函数的定义及相关结论. 第2章,基于3次B样条拟插值和紧致有限差分法,我们给出一种求解Burgers方程的数值格式.为此,我们对B样条拟插值作了简要介绍,然后采用B样条拟插值逼近方程空间方向导数和二阶紧致有限差分逼近时间方向导数的方法来构造数值格式,数值实验表明,此格式精度较高,且易于应用. 第3章,我们利用样条插值方法近似表示电信技术中网络资源利用效率与字长的关系.电信网络的资源利用效率是电信网络技术讨论的基本问题之一.在给定网络环境(接入速率R和数据字头长度L0)和服务质量(最大延时Tmax和丢失率Ploss)的条件下,我们利用样条插值给出网络资源利用效率和字长关系的计算公式,该公式能够直接计算出最佳字长(Lopt),按最佳字长提供通信服务,就可以获得最大网络资源利用效率,避免了繁琐的图解计算.数值算例表明采用、3次自然样条插值所得到的结果较好. 第4章,利用Pade逼近方法,我们构造两种满足插值适定性的有理径向基函数.经典的径向基函数如Gauss函数和多二次(MQ)函数分别为指数形式和无理形式,在计算机上实现时会耗费巨大的计算量.在本章中,我们利用Pade逼近方法对两种特殊的径向基函数进行改造,构造出两种满足插值适定性且计算简便的有理径向基函数.此外,我们还通过这种方法给出了Gauss函数和逆多二次(IMQ)函数之间的关系. 第5章,我们构造了一种高精度MQ拟插值算子.MQ插值具有很高的逼近阶,但是必须求解一病态的线性方程组,因此,MQ拟插值方法得到了广泛的研究.在本章中,借助于IMQ插值,我们给出了一种高精度多层MQ拟插值算子,该算子具有IMQ插值和MQ拟插值的优点.将此算子应用于数值求解Sine-Gordon方程,我们得到了精度较好的数值格式.