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非线性微分方程与超离散方程的若干求解和可积性问题研究

冯阳  
【摘要】: 本文以数学机械化思想和AC=BD理论为指导,以构造性变换及符号计算软件为辅助工具,从代数曲线和Riemann theta函数的角度来研究非线性偏微分方程,离散方程的精确解,超椭圆函数解,拟周期解;超离散方程的Lax可积性和热带Riemann theta函数解等相关问题. 第一章介绍数学机械化、孤立子理论、可积性与代数几何解、超离散方程的求解与可积,几种求解数学物理方程的构造性方法的历史发展和研究现状,并介绍本文的选题及主要工作. 第二章首先介绍了张鸿庆教授提出的数学机械化中的AC=BD模式和应用,其次在C-D对的理论框架下,利用微分伪带余除法,构造性给出了求方程间的变换的方法.并通过研究一种类型的算子D,给出Dv=0更多形式的解,从而推广了一类辅助方程展开法,给出了一类非线性发展方程更多形式的精确解. 第三章基于超椭圆函数和代数曲线的相关知识,通过亏格为2和3的超椭圆函数所满足的等式关系,利用构造性方法求解非线性方程的超椭圆函数解,得到了几类非线性发展方程的2亏格和3亏格的超椭圆函数解. 第四章首先基于具有有理特征的Riemann theta函数,推广了双线性和Riemann theta函数相结合的方法,给出了一类具有两个或两个以上因变量非线性方程(组)的拟周期解;并将这一方法应用到一类微分差分方程中.其次,利用四类特殊的具有有理特征Riemann theta函数所满足的恒等式关系,运用直接构造性方法,给出了两个离散方程的拟周期解. 第五章首先运用超离散化方法给出晶格修正的KdV方程的超离散方程,并通过协调条件证明了超离散方程的Lax可积.其次运用热带化方法,给出约化的非自治超离散Kadomtsev-Petviashvili方程(rndKP)的热带谱曲线,并利用热带形式下的Fay三度割线恒等式给出其热带Riemann theta函数形式的解.


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