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变系数椭圆型方程的紧差分格式

孙岩刚  
【摘要】:许多物理和工程实际问题的数学模型都可以用椭圆型偏微分方程来描述,例如扩散问题、导体中电流分布问题和静电学问题。但是椭圆型方程边值问题的精确解只有在特殊情况下才能得到,因此必须采用数值方法求解这些问题。有限差分法是数值求解椭圆型方程的通用而有效的方法,目前已经有很多建立椭圆型方程差分逼近的方法。求解一维椭圆型方程的差分方法有直接差分法、积分插值法、变分差分法等,但是这些差分方法只能达到二阶精度,要提高精度需要加密网格,然而这将大大增加计算量。求解二维变系数椭圆型方程差分方法的精度一般比较低。因此构造求解变系数椭圆型方程的高精度差分格式具有理论和实际意义。本文主要内容如下: (1)简要介绍了有限差分法的基本思想和求解变系数椭圆型方程的一些传统有限差分格式。 (2)对一维变系数椭圆型方程建立了一种具有四阶精度的紧差分格式,给出了差分解的先验估计,进而证明了差分格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性,并通过数值实验验证了该差分格式的高精度。 (3)对二维变系数椭圆型方程建立了具有四阶精度的紧差分格式,证明了差分解的存在唯一性、稳定性和收敛性,并且利用数值实验验证理论结果。数值实验结果表明本文建立的紧差分格式是一种高精度的、稳定且收敛的差分格式。


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