传染病动力系统分析与种群混沌系统控制问题研究

【摘要】： 传染病一直以来威胁人类的健康与生命,历史上曾给人类带来巨大的灾难。时至今日,虽然一些传染病由于人类采取的有力措施而被消灭或得到控制,但有再次抬头且不断蔓延的趋势,各种新型的传染病也层出不穷,给人们的生命财产带来了巨大的损失。为了研究传染病在种群内外的传播规律及与之有关的社会因素,建立能反映传染病流行规律的数学模型并研究其发生、发展与传播的规律,了解疾病的发展过程,揭示发展规律并预测其变化趋势,以便为相关部门制定防治策略提供科学依据,使人们能更好的抵御疾病,这一工作至关重要。 生物动力系统是典型的非线性复杂系统。系统除自身的复杂性与结构的庞大性外,还有种群内部、种群之间的相互作用及外界环境的干扰等诸多因素,导致系统存在分岔乃至混沌等复杂的动力学行为。目前有许多专家对生物动力系统存在的复杂现象问题进行了研究,并得到了丰富的结果。对生物系统控制以达到服务人类、保持生态平衡的目的,是值得研究的问题。然而应用工程上的控制理论或方法对系统所存在的复杂动态特性的控制问题的研究刚刚开始,研究结果尚不多见,还有大量问题未得到解决。 本文针对一类具有垂直传染方式的传染病模型,利用动力系统稳定性理论,对系统采取连续接种与脉冲接种的方式,研究了平衡点与周期解的存在性与稳定性问题。针对一些种群混沌模型,利用OGY (Ott, Grebogi, Yorke)方法、非线性反馈控制、反馈线性化控制、直线稳定化、混沌跟踪控制等控制理论和方法,研究了混沌现象及相应的混沌控制问题。主要研究内容如下： (1)讨论了具有垂直传染和连续预防接种的双线性SIRS传染病模型稳定性问题。根据不同类型的新生儿采取不同的连续接种方式,利用Lyapunov函数方法和LaSalle不变原理,研究了无病平衡点和地方病平衡点(正平衡点)的存在与全局稳定性问题。分别得到了无病平衡点存在与稳定的条件,地方病平衡点存在与稳定的条件。 (2)针对具有垂直传染的双线性SIRS传染病模型,对易感者新生儿分别采取连续预防接种和脉冲预防接种两种方式,分别给出了这两种接种方式下SIRS传染病模型的基本再生数。利用Lyapunov函数方法和LaSalle不变原理,得到了连续预防接种下无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性条件；利用脉冲微分方程的Floquet乘子理论、比较定理和非线性分析方法,得到了无病周期解的存在性和全局稳定性条件。 (3)针对一类具有物种流动特定区域内的种群增长差分模型,利用Lyapunov指数方法,简单直观地验证了混沌现象的存在。为了消除影响种群正常增长及生态平衡的混沌现象,利用OGY方法,设计了调节平衡点和保证周期轨道稳定的控制器。针对一类具有收获系数的单种群模型,利用Lyapunov指数方法,验证了混沌现象的存在。通过分析系统分岔图,展示了种群收获系数在不同范围下的系统动力学行为。分别利用OGY方法、非线性反馈控制方法、轨迹跟踪控制方法,消除种群系统中存在的有害混沌,并使混沌轨道稳定在期望的周期轨上。仿真表明跟踪控制的目标比较灵活,根据实际问题的需要,可以是相空间内的任意一点,也可以是任意给定周期轨道。研究结果对维持具有混沌现象的种群稳定生存具有一定的意义。 (4)针对一类离散捕食-食饵模型,利用Lyapunov指数方法,验证了混沌现象的存在。为了消除种群中的混沌现象,利用反馈线性化方法设计控制器,将种群稳定到目标周期轨道,并制定出合理的开发策略；应用混沌跟踪控制设计控制器,将种群稳定到任意周期状态。针对具有共生作用的离散耦合Logistic模型,首先采用Lyapunov指数方法验证了混沌现象的存在,通过详细分析系统状态随参数变化的分岔图得知耦合系统比Logistic模型存在更复杂的动力学行为；然后利用混沌跟踪控制方法,设计控制器,使种群稳定到任意周期状态。针对一类离散功能性反应模型,采用混沌跟踪控制方法,设计控制器,使种群稳定到任意合理周期状态,实现了混沌控制。 (5)针对一类受延迟影响的种群生态模型,利用Lyapunov指数方法,验证了混沌现象的存在。应用改进的直线稳定化方法设计控制器,使种群稳定到不动点轨道,消除了种群中存在的混沌现象。