基于参数调节的非线性振动系统分岔与混沌动力学研究

【摘要】：基于经典的Duffing方程,本文构造了几类非线性振动系统。利用混沌理论和数值模拟,研究了它们的复杂动力学行为;通过调节参数、描绘分岔图和计算李雅普诺夫指数,验证了系统在广泛的参数范围内,均处于混沌状态;利用控制理论,设计了速度和位移反馈控制器,消除了非线性振动系统的混沌现象。最后,进一步研究了具有无穷或没有平衡点的三维二次多项式系统的混沌动力学与控制问题。首先,介绍了非线性振动系统的研究背景及意义,分析了国内外该领域的研究现状和发展趋势;对论文主要的研究内容进行了简要的概述;对所运用的理论方法进行了解释说明。建立了一类含Duffing方程的单自由度非线性振动系统的通用表达式。在没有外部激励作用时,研究了此类振动系统在平衡点附近的局部稳定性。构造了一类含有正弦激励的非线性振动系统,进行了理论分析和数值模拟,设计了速度和位移反馈控制器来消除混沌。构造了一类含有正弦和余弦双频激励的非线性振动系统,详细地研究了系统的动力学行为,分别描绘了关于阻尼和频率参数的状态分岔图。随着参数的变化,计算出相应的李雅普诺夫指数。设计了简单的位移反馈控制器,消除了系统的混沌行为。通过引入具有单个符号函数的外部激励,构造了一类具有三涡卷吸引子的分段非线性振动系统,对系统的复杂动力学行为进行了分析。设计了位移和速度的反馈控制器,来消除系统的混沌现象。构造了含有双符号函数的分段非线性振动系统,此系统能生成四涡卷混沌吸引子。研究了系统的复杂动力学行为和混沌控制的问题。分别引入三角函数和双曲正切函数作为系统的外部激励,所设计的系统均具有相同的生成四涡卷混沌吸引子的能力。通过调节符号函数,还可以使涡卷的数量发生变化。研究了一类具有无穷或没有平衡点的非线性振动系统,此类系统最显著的特点是没有平衡点;或者具有无穷平衡点,均落在一条直线上。通过改变参数,系统能生成不同的混沌吸引子,分析了系统的动力学行为。最后,构造了与原系统具有对称参数的新系统,同时研究了系统之间的切换控制问题。在单自由度非线性振动系统中,本文提出了双涡卷、三涡卷和四涡卷混沌吸引子的设计方法。基于参数调节和数值计算,分析了阻尼、频率、非线性项中的最高次数和振幅的变化对系统状态的影响。本文的研究结果和设计方法,将有助于解决实际工程领域中的某些非线性振动问题。