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累次齐次平衡法在孤子方程求解中的应用

高勇强  
【摘要】: 内容摘要:本文主要研究了以下方面的问题:非线性偏微分方程求解的基本方法,及其在非线性数学物理中的应用.借助于非线性发展方程的求解方法—齐次平衡法所提供的构造非线性演化模型精确解的有效的分析方法,来进行求解.但是其中的变换方程—Riccati方程是非线性方程而难以求解,所以在一定程度上限制了齐次平衡法的求解.本文利用累次齐次平衡法及扩展的函数构造法来求解非线性偏微分方程,即分别利用齐次平衡法求解变换方程—Riccati方程以及简化了的非线性常微分方程,得到了非线性偏微分方程的许多形式的精确解,在这些精确解中许多是新解或覆盖了其它方法所得到的结果从而在一定程度上解决了上述的不足.本文由四章组成: 第一章主要介绍了本文所涉及到学科的发展历史,在自然科学中的应用,研究现状及研究方法,以及国内外学者在这些方面所做的工作和已经取得的一些成果.最后介绍了本文的主要工作. 第二章介绍了非线性偏微分方程求解的一些基本方法,例如:非线性发展方程的孤立波解,直接积分法与观察试凑方法,Lax可积与孤子方程, Ba cklund变换方法,Hirota双线性导数方法与Darboux变换方法,齐次平衡法与首次积分法.并且简要的概述了各种方法的独特性. 第三章本文的重点章节基于非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导思想,提出并利用累次齐次平衡法,并将Tanh函数构造法进行推广.将推广的方法应用于孤子方程Chaffee -Infante方程,得到大量的精确行波解.这些结果包含了用其他方法得到结果,以及大量其它形式的新解. 第四章将累次齐次平衡法,和推广的函数构造法应用于孤子方程组形变Boussinesq方程1中得到孤子方程组的大量各种形式的精确行波解.


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