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孤立子理论中非线性发展方程求解研究

韩冰冰  
【摘要】:孤立子理论在自然科学的研究中占有非常重要的部分.非线性发展方程的孤立子理论研究是其中一个重要的热点内容.许多有着物理意义背景的非线性发展方程都具有孤立子特性.因此,寻求非线性发展方程的解,在理论研究中有着重要的意义.目前已经提出了很多求解非线性发展方程精确解的方法,如反散射方法,函数展开法,形变映射法,混合指数法,双线性方法和达布变换法.由于求解非线性发展方程还没有普遍使用的统一方法.因此,继续寻找有效的求解非线性发展方程精确解的方法,仍然是有待进一步研究的工作和问题. 本文在对现有的孤立子理论和非线性发展方程的求解方法进行了较为深入和系统的研究基础之上,对几种非线性发展方程精确行波解的求解方法做了应用和改进,求出了非线性方程的几类新的精确解. 本文分为三章: 第一章介绍了孤立子理论的历史背景,进展情况.概述了孤立子可积性,非线性发展方程的研究现状和求解非线性发展方程的几种常用方法.简要阐述了本文的研究内容和研究意义. 第二章基于孤立子理论求解的研究方法,首先扩展了已有的tanh-coth方法,并将该方法应用于广义Zakharov方程,得到了一系列精确解,再利用二次齐次平衡方法,分别以一个微分方程和耦合投影Riccati方程为辅助方程,求解广义Zakharov方程,拓展了原方法所得到的解的结构.其次,运用推广的Jacobi椭圆函数法求解(2+1)维Konopelchenko-Dubrovsky方程,获得了方程新的椭圆函数解.在极限情况下这些解退化为孤子解和三角函数解.最后,利用改进的(G'/G)展开法求解了(2+1)维破裂孤立子方程,得到了丰富的精确解,例如含参数的双曲函数解,三角函数解和有理数解. 第三章是全文的结论部分,主要是对全文内容的总结和对以后研究方向的展望.


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