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一类非线性波动方程的初边值问题

张哲  
【摘要】:本论文主要研究如下一类带有非线性源项和阻尼项的波动方程解的存在性及解在有限时间爆破的问题.utt+α△2u-β△u-γ△ut+σut+τu=f(u), (x,t)∈Ω×[0,+∞), u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x), x∈Ω, u(x,t)=0, (x,t)∈(?)Ω×(0,T).这里Ω(?)Rn是一个具有光滑边界(?)Ω的有界域,u(x,t)是未知函数,△是拉普拉斯算子.论文的主要内容分为四章.绪论作为本文的第一章,主要介绍所研究问题的物理背景意义,同时对有关非线性波动方程带有初边值的问题的研究现状作了总结.论文第二章,主要根据Galerkin方法和位势井理论讨论了与这类四阶非线性波动方程相关的初边值问题,方程的整体弱解的存在性也因此而得到.对于论文第三章,主要研究了这类带有阻尼项的四阶非线性波动方程的解的初边值问题,利用位势井方法,证明了当初值满足一定条件时解会发生爆破.在第四章中,研究了当γ=0,f(u)=|u|p-1u时这类四阶非线性波动方程的初边值问题的解的高能爆破问题,应用位势井方法给出了在高初始能量的状态下初值满足什么样的条件,这个问题的解会发生爆破.在论文的最后,我们总结了本文的工作.


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