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线性规划一种概率意义下的多项式算法

王凤霞  
【摘要】:线性规划问题在社会实践中的应用非常广泛。对于求解该问题,自单纯形法被提出以来,它一直是实际应用中极其有效的计算方法。但在理论上,单纯形法被证明是指数复杂性的。 寻找线性规划问题的多项式时间算法,是多年来人们追求的目标。Khanchian的椭球法和Karmarkar的投影尺度法,证明了线性规划问题确实存在多项式算法。但实践表明,这两种方法理论上的优越性并不能在实际应用中得以实现。 考虑到单纯形法的实际运算效果与理论分析两方面的矛盾,人们提出,能否有一种单纯形法的改型是多项式算法?这成为近年来不少学者研究的热点。本文尝试给出一种单纯形法的改型算法,它在概率意义下是多项式时间算法。 经过分析,运用本文所给出的算法来求解线性规划问题,在约束方程个数m≥27时,以及决策变量个数,n≥2m的情况下,至多迭代m+8次,即可使得到线性规划问题最优解的概率超过0.9864。这对于求解线性规划最优解问题,是很理想的结果。 全文共分四部分: 第一章,概述线性规划的基本理论,发展历史以及经济意义; 第二章,介绍求解线性规划问题的有效算法——单纯形法的基本思想和计算步骤,并指出其存在的问题; 第三章,给出求解线性规划最优解问题的一种概率意义下的多项式时间算法,详细阐述该算法的基本思想、算法步骤,以及相应的理论说明和迭代次数的概率分析,并举例说明其计算效果; 第四章,对本文主题思想以及提出的算法进行总结。


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