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扩散型方程的一类有限体积法

曹秀雷  
【摘要】:在上个世纪七十年代末,人们从积分差值出发将差分法推广到三角形网格,克服了在处理自然边值条件时遇到的麻烦,而且使近似解的精度更容易提高,这一方法被称为广义差分法,又被称为有限体积元法,自从被李荣华教授提出以后,由于计算量少,程序容易实现,而且能够保持物理量的局部守恒性,在流体力学,半导体的数值模拟等方面被广泛应用。 本文介绍了由Robert Eymard等人提出的处理扩散问题的一类有限体积法,包括三种格式:任意网格上求解各向异性扩散问题的混合有限体积法、椭圆问题的解和梯度逼近的有限体积法、各向异性扩散算子的单元中心式有限体积方法。这三种格式与李荣华教授提出的有限体积元方法有很多不同之处:有限体积元法(广义差分法)有两套网格剖分,并定义了试探函数空间和检验函数空间,该方法进而借助变分形式而定义,而这三种格式都只有一套网剖分,不存在网格的对偶剖分,且没有定义函数空间,而是通过梯度的连续性来建立差分格式。在本文中首先综述了三种格式的构造与理论结果,其次分别进行了数值实验。 对于任意网格上求解各向异性扩散问题的混合有限体积法,首先介绍了可允许离散的定义,然后给出有限体积法的格式,它是一种混合有限体格式,在求解方程数值解和梯度逼近的同时,也求解出了在每个控制体积边界上的流量。关于格式的收敛性质,原文证明了在任意网格上这种混合有限体积格式的数值解和梯度逼近的最大收敛阶为1/2。在实现过程中,此格式采用先求解控制体积边界中点的数值解,然后逐次回代求解网格中心的数值解以及梯度逼近和流量。 对于椭圆问题的解和梯度逼近的有限体积法,其可允许离散网格的定义和任意网格上求解各向异性扩散问题的混合有限体积法相似,但是它对于网格的要求更加严格。椭圆问题的解和梯度逼近的有限体积法的格式是通过Green公式以及在相邻控制体积边界K|L中点处,偏微分方程的解对于控制体积K和L中心点的离散梯度互为相反数而建立的,这也是此格式对于可允许离散网格要求严格的原因。在梯度逼近方面,引入了Neumann司题来定义离散的梯度逼近。在给定的可允许离散网格下,这一有限体积格式的数值解和梯度逼近的收敛阶为1,而格式的实现过程则和任意网格上求解各向异性扩散问题的混合有限体积法完全相同。 对于单元中心式有限体积法,其网格的定义和椭圆问题的解和梯度逼近的有限体积法完全相同,它们对于网格的要求都相对较高。文中是用控制体积K和所有与K相邻的控制体积处的数值解来定义K处的离散梯度,同时定义了对称的线性内积形式。最终利用Green公式、离散梯度和定义的内积形式定义出了有限体积格式。在收敛性方面,这一格式的数值解和梯度逼近的收敛阶都为1。这一方法为一个以单元中心数值解为未知量的十三点格式,矩阵相对繁琐,在直接求解出单元中心的数值解后代入离散梯度格式求解出梯度逼近。


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