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无穷维KAM理论在梁方程中的应用

常晶  
【摘要】:本文主要研究无穷维KAM理论在梁方程中的应用.全文分为三章:第一章是绪论,第二章,第三章为论文主体部分. 基于Eliassion[21],Melnikov[56]和Poschel[58]发展起来的KAM理论,起初主要是研究有限维Hamilton系统低维不变环面的保持性,但到今天,已经获得了巨大的发展.其中最重要的一个方面,是由经典的KAM理论发展起来的无穷维KAM理论用于证明拟周期解的存在性,这方面已有大量的结果([14,29,40,78,61,4,6]). 在[7]中,Bourgain利用KAM方法以及Nash-Moser型方法获得了不变环面的存在性,并且在第一Melnikov非共振条件下,不变环面的频率具有下面的特点:ω=λω*(λ∈R,λ≈1),ω*为固定频率.随后,Eliassion[21]在第一,第二和第三Melnikov非共振条件以及非退化条件det(Dw(y))≠0,l,Ω(y)-w(y)(Dw(y))-1DΩ(y)≠0下,其中y∈Rn,l∈Zm\0,|l|≤3,证明了同样的结果,但是其中的频率向量ω都是位于有限维的平面空间中.本文的第二章主要是证明了当频率向量位于无穷维平面空间中时,梁方程在Dirichlet边界条件下也存在不变环面. 在第三章中,我们主要是利用发展的无穷维KAM理论,研究具有拟周期势的梁方程拟周期解的存在性.其关键性的步骤是,我们需要把方程约化到一个可以利用无穷维KAM理论的系统中,也就是说,我们需要通过一个拟周期变换把Hamilton系统的线性部分约化为一个常系数形式.


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