反应扩散方程的格子Boltzmann方法及数值模拟

【摘要】：20多年来,格子Boltzmann方法逐渐成为流体系统建模和模拟的重要手段。这种方法基于分子动理论,具有清晰的物理背景,其基本思想是：时间离散成等步长；空间离散成规则的网格；粒子沿着格线运动,在一个时间步内,只能从一个格点移动到临近的格点。通过这样的时.空离散,可将复杂的Boltzmann微分积分方程表示成简单离散形式的格子Boltzmann方程。对分布函数fa(x,t)作Chapman-Enskog展开和多尺度展开等分析,我们可以得到平衡态分布函数的n阶矩形式。通过定义宏观质量和动量,假设他们满足守恒条件,从质量、动量的表达式可以推导出相应的平衡态分布函数faeq(x,t),从而进行迭代运算。与传统流体模拟方法相比,格子Boltzmann方法具有本质的并行特性、边界条件容易处理、编程简单等优点。 由于格子Boltzmann方法具有许多独特的优势,因而自诞生之日起,就广泛应用于计算流体动力学、求解偏微分方程等领域。本文应用格子Boltzmann方法研究了几个经典的反应扩散方程,具体内容如下： 第一章,我们综述了格子Boltzmann方法的发展历史和研究现状。 第二章,给出了用于反应扩散方程的格子Boltzmann模型的Chapman分析。 第三章,用格子Boltzmann方法模拟了Schlogl系统。通过选择适当的平衡态分布函数和附加项分布函数,模拟了一维、二维、三维Schlogl模型。 第四章,对CIMA系统的线性稳定性作了分析。使用第二章提出的格子Boltzmann模型,绘制了CIMA的二维和三维斑图。 第五章,构造了用于Brusselator的格子Boltzmann模型,模拟了Brusselator的二维和三维斑图,讨论了不同的参数对斑图的影响。数值实验表明,格子Boltzmann方法得到的数值解和有限差分法得到的结果具有很好的一致性。 第六章,用格子Boltzmann方法模拟了Gray-Scott系统。对Gray-Scott系统作了线性稳定性分析,并对不同F、K组合的斑图进行了分类。此外,我们给出了不同模型模拟的Gray-Scott系统二维和三维斑图,并与有限差分法得到的结果作了对比。数值结果显示,格子Boltzmann方法可用于模拟Gray-Scott模型。 第七章,给出了本文的结论。