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随机Cahn-Hilliard方程解的有限时间爆破和全局存在性

于娟  
【摘要】:本文将研究下述随机Cahn-Hilliard方程(?)其中D ? R是一个有光滑边界(?)D的有界域,κ和γ是常数且κ 0,并且{Wt,t≥0}是随机空间(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的一维标准布朗运动.随机Cahn-Hilliard方程[8, 15, 21]描述二元合金受热干扰下相位分离的过程.在这个模型中, u表示二元合金的相位分离率,随机项W˙t表示热干扰. 近年来,很多学者研究了确定性的Cahn-Hilliard方程[5, 11, 13, 22].该模型描述材料科学中二元合金相位分离的过程(调幅分解);即二元合金的温度从T0淬火到临界温度Tc以下后,二元合金分离成单质的过程.关于确定性Cahn-Hilliard方程在满足一定的初边值条件下解的性质的研究, Elliott和Zheng得到了如下结果[13]:考虑齐次多项式为f(u) =γ2u3 +γ1u2 -u,当首项系数γ2 0,初值g(x)∈H2时,确定性Cahn-Hilliard方程存在唯一的全局解;当首项系数γ2 0,初值足够大时,确定性Cahn-Hilliard方程的解在有限时间内爆破. Da Prato和Debussche [9]首次提出随机Cahn-Hilliard方程,研究了随机Cahn-Hilliard方程温和解的存在唯一性. Cardon-Webber [6, 7]研究了该方程温和解的存在唯一性并且利用Malliavin微积分研究了解的密度函数的绝对连续性和正密度函数的存在性. 近年来,一些学者研究了随机偏微分方程满足一定的初边值条件下解的性质: C.Bandle等[1]研究了随机反应扩散方程解的爆破行为; M. Dozzi和J. A. Lo′pez-Mimbela[12]研究了半线性随机偏微分方程,给出了正解在有限时间内爆破的概率,并且得到了非平凡正全局解的存在性的概率. 在本文中,将研究随机Cahn-Hilliard方程解的性质,即解的有限时间爆破和全局存在性.系统(1)解的性质依赖于非线性项f的主项系数γ的符号.首先运用Ito?公式将系统(1)转化为具有随机参数的Cahn-Hilliard方程.(?)当γ 0时,研究系统(2)解的爆破行为:考虑系统(2)的弱解,并且解一个Bernoulli方程.该Bernoulli方程的解可以表示为一个带漂移项的指数布朗运动的积分形式.利用MarcYor [24]的结果(或M. Dozzi and J. A. Lo′pez-Mimbela [12]),可以得到u和v有限时间内爆破的概率. v可能在一定的概率爆破,并且还能得到爆破概率的下界.当γ 0时,由于很容易通过皮卡迭代系列得到局部解的存在唯一性,本文中只需要通过对v进行先验估计得到u和v的全局解的存在唯一性. 主要结果如下: 定理0.1如果γ 0,则方程(1)的解在有限时间内爆破概率的下界为(?)其中(?) 定理0.2如果γ 0,则对于任意初值g(x)∈H2(D)和T 0,方程(1)存在唯一的全局解,解的存在空间为H4,1(D×[0.T]).


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