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几类分数阶微分方程和方程组解的结构研究

代群  
【摘要】:分数阶微分方程的提出最早出现在1695年由Leibniz写给L'Hospital的一封信中,至今已有300多年了.在很长一段时间里,分数阶理论的研究主要局限在纯数学中,其中可能的原因之一是有很多种关于分数阶导数的定义,但它们都是不等价的,原因之二是由于分数阶导数有别于通常导数的定义,是由积分或级数来定义的,具有非局部特性,分数阶导数没有明显的几何解释.分数阶导数的定义有多种,最常用的定义是由Riemann-Liouville和Caputo给出的,这两个定义的不同之处在于求导与积分的顺序不同. 近几十年来,人们发现分数阶微分方程可以刻画许多实际问题.在物理学、化学、工程学等领域中诸如流变学、阻尼现象和扩散过程等,可以用分数阶微分方程建立相应的数学模型.在众多的数学文献中,我们可以找到分数阶微分方程的广泛应用.用分数阶导数模拟非线性地震振动;分数阶导数可以排除由连体交通流的假设所引起的缺陷,被应用于流体动力学交通模式;分数阶偏微分方程可以刻画多孔介质中渗流量的实验;在连续介质力学、统计力学和金融数学中也常常用到分数阶导数;分数阶微分方程还可以模拟Malthus人口增长理论和Poisson出生过程,等等. 本文共分五部分.第一部分引言,介绍分数阶导数的研究背景,以及论文中需要的相关定义和性质,并给出了我们的研究工作以及论文结构. 第二部分主要研究某些分数阶微分方程解的结构.这一部分我们做了如下的工作.1.对这类方程应用分离变量法,得到了精确解.2对于常系数齐次线性分数阶微分方程建立了解的结构性定理,给出了基础解系.我们的结果推广了整数阶常系数线性微分方程的相应结果.以上工作的难点在于构建方程的基础解系.此外,利用算子解法,我们得到了一类常系数非齐次分数阶微分方程的解法.3.对常系数齐次分数阶微分方程组,首先利用Jordan标准型方法建立了其基础解系,然后利用待定系数法建立了解的结构性定理,这个结果蕴含常系数线性一阶微分方程组.4、我们用Euler折线法构造了逼近函数族,再用不动点定理证明了α阶时间分数阶微分方程组解的存在性.一般地,要使微分方程组的解具有唯一性,都需要非齐次部分满足Lipschitz条件,我们在更一般的条件下运用反证法给出了α阶时间分数阶微分方程组的解满足唯一性的条件. 第三部分主要研究某些分数阶微分方程组的解法.这一部分我们做了如下工作:1.到目前为止,人们运用Adomian分解法、广义微分变换法、同伦摄动法、改进的同伦摄动法、同伦分析法、变分迭代法和分离变量法等多种方法解分数阶微分方程和时间分数阶微分方程组-方程组的每个方程只含有一个时间分数阶导数.我们将这些方法应用到时间-空间分数阶微分方程组中,它的难点是方程组中每个方程都含有不同阶的时间分数阶导数和空间分数阶导数.2.我们着重研究了应用变分迭代法解分数阶微分方程组,到目前为止,变分迭代法只能解带有整数阶导数的分数阶微分方程,使这种方法受到局限,不能广泛的使用于分数阶微分方程.我们主要研究用这种方法解不含整数阶导数的分数阶微分方程组,它克服了传统意义上的用变分迭代法解分数阶微分方程的弊端,并且对用这种方法得到的近似解与准确解进行了数值分析.此外,我们还从时间方向和空间方向解时间-空间分数阶微分方程组,目前许多学者的研究重心就是找到更行之有效的分数阶微分方程组的解法. 第四部分主要研究了几类非线性时间分数阶微分方程组爆破解的情况。首先,我们得到了与时间分数阶非线性微分方程组等价的积分方程组,并证明了积分方程组局部解的存在性.其次,引入了一个适当的检验函数,对非线性时间分数阶方程组的解建立了Holder估计,证明了方程组具有有限时间的爆破解,并给出了爆破解的一个上界估计. 第五部分主要研究了分数阶热传导方程.我们引入Guy.J的分数阶导算子定义及其性质,建立了一个具有分数阶导数的Banach函数空间,研究了与古典热传导方程性质平行的分数阶热传导方程的一些性质.实际上,整数阶微积分的绝大多数理论都是建立在满足分部积分运算的整数阶积分基础上的,于是一些传统的方法和技巧就不能被运用到分数阶微分方程中,这就增加了研究分数阶微分方程的难度.而找到更有效的分数阶导算子的定义,是很多学者研究分数阶微分学的目标.


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