导子的交换基，Darboux多项式及tame自同构的多重次数

【摘要】：仿射代数几何是代数几何的一个分支,主要研究仿射空间及上面的多项式映射.多项式导子和自同构的研究具有深刻的背景和广泛的应用,是仿射代数几何中最重要的研究工具和研究对象.仿射代数几何领域的大多数研究集中在几个著名问题上,例如Jacobi猜测、tame生成子问题、消去猜测等.其中最著名的Jacobi猜测是说: Jacobi猜测特征零的域上Jacobi行列式为非零常数的多项式映射必可逆. Jacobi猜测的陈述很简单,但它的研究涉及到数学中的很多领域,并且用到了一些十分深刻的工具和方法. n维Jacobi猜测用导子的语言可以描述成:在相差一个多项式坐标变换的意义下,(?)_1,...,(?)_n构成n元多项式环k[X]:=k[x_1,..., x_n]上导子集合Derkk[X]的唯一的交换基,其中(?)_i表示关于第i个变量x_i的偏导数.本文研究了一组交换导子构成导子的交换基的等价条件,证明了n元多项式环(或者形式幂级数环)上两两交换的n个导子构成导子的交换基当且仅当它们是k线性无关的,并且没有共同的Darboux多项式. 导子的Darboux多项式是处理多项式(或有理函数)微分系统的十分有用的代数工具.如果将多项式(或有理函数)微分系统相结合.那么,导子D存在Darboux多项式是对应微分系统有多项式首次积分,有理首次积分,甚至Liouville首次积分的必要条件.另一方面,没有Darboux多项式的导子可以用来构造Weyl代数上的不可约的不完整模、构造非交换的单环和单Lie环等.但是,没有Darboux多项式的导子的例子的构造是一个十分困难的问题.本文考虑了三元多项式环上的单项导子,给出了它们没有Darboux多项式的充要条件. 高阶导子作为导子的推广,它的核的研究与不变量理论和域扩张理论联系密切,并且高阶导子及其核在处理一些曲线和仿射曲面的时候起着重要的作用.例如,仿射概型X=Spec(A)上的Ga作用可以解释成A上的一个局部有限迭代高阶导子,利用这种观点,仿射曲面上的许多问题可以得到很大的简化.本文研究了高阶导子的核与基域的扩张的关系,并且证明了多项式环上高阶导子的核可以由一组闭多项式生成. Abhyankar证明了2维Jacobi猜测成立当且仅当对应的多项式映射的多重次数(d_1, d_2)是一个主对,即d_1|d_2或者d_2|d_1.由经典的Jung-van der Kulk定理可知二元多项式环上的多项式自同构都是tame自同构,并且其多重次数(d_1, d_2)是一个主对.研究多项式自同构,特别是tame自同构的多重次数对多项式自同构群的结构刻画有着重要意义.本文讨论了三元多项式环上tame自同构的两类多重次数:(d_1, d_2, d_3)是一个等差数列的情形以及d_1, d_2, d_3中有一个是素数的情形. 第一章介绍了本文研究的问题的背景以及相关进展. 第二章首先介绍了没有Darboux多项式的导子的一些例子,并给出了多项式环k[x, y, z]上任意一个严格的单项导子有平凡的常数环的判定条件,从而给出了k[x, y, z]上任意一个单项导子没有Darboux多项式的等价条件.定理2.3.3.设D是多项式环k[x,y,z]上的单项导子,则下列陈述等价. (1) D没有Darboux多项式. (2) D是一个严格不可约单项导子,并且k[x, y, z]D=k. (3) D是一个严格不可约单项导子,并且k(x, y, z)D=k. (4)其中βij∈N不满足下面两个条件中的任意一个: 第三章首先证明了在分式域k(X)上线性相关的两两交换的导子必有“预备”的Darboux多项式: 引理3.2.1.如果D_1,..., D_m∈Derk_k[X]是一组两两交换并且在分式域k(X)上线性相关的导子,那么,存在一组满足gcd(f_1,..., f_m)=1的多项式f_1,..., f_m∈k[X]和h_i∈k[X], i=1,..., m,使得f_1D_1+···+f_mD_m=0,并且Di(fj)=hifj对所有的i, j成立. 这个引理本身也是有意思的,利用这个引理得到了： 定理3.2.1.设D_1,..., Dn是k[X]上两两交换的k线性无关的导子,则下面两个陈述有且只有一个成立: 这是线性代数中代数闭域上的有限维向量空间中一组两两交换的线性算子必有公共特征向量这个事实在多项式导子理论中的一个推广.定理3.2.1还揭示了导子的交换基与Darboux多项式的关系. 定理3.2.2.设k是特征0的域, D_1,..., D_n是n元多项式环k[X]上两两交换的导子,则D_1,..., D_n构成Derkk[X]的一个交换基当且仅当D_1,..., D_n是k线性无关的,并且没有共同的Darboux多项式. 对于形式幂级数环k[[X]]也同样有类似的结论. 第四章首先研究了域扩张下高阶导子的核的关系: 然后给出了多项式环上的高阶导子的核的一个描述. 第五章首先简述了Shestakov和Umirbaev证明Nagata猜测的方法和tame自同构的多重次数研究的一些进展. 然后研究了任意一个等差数列何时成为tame自同构的多重次数. 定理5.3.1.设(a,a+d,a+2d)是正整数的等差数列. (1)若a|2d,则(a, a+d, a+2d)∈mdeg(Tame k~3). (2)若a2d,并且(a, a+d, a+2d)=(4i,4i+ij,4i+2ij),其中i, j∈Z+, j是奇数,则(a,a+d,a+2d)∈/mdeg(Tame k~3). 我们还建立了(2)中的例外情形与Drensky和余解台的一个猜测的联系. 最后考虑了Karas的一个猜测的变形. 猜测5.4.1.设2d_1≤d_2≤d_3,如果d_1, d_2, d_3中有一个是素数,则(d_1, d_2, d_3)∈mdeg(Tame k~3)当且仅当d_1|d_2或者d3∈d_1N+d_2N. 定理5.4.1.若d_2是素数并且,则(d_1, d_2, d_3)∈mdeg(Tame k~3)当且仅当d_1=d_2或者d_3∈d_1N+d_2N. 并且举例说明了定理5.4.1中的条件是必不可少的. 定理5.4.3.若d_3是素数并且gcd(d_1, d_2)=1,则(d_1, d_2, d_3)∈mdeg(Tame k~3)当且仅当d_3∈d_1N+d_2N.