套代数的相关问题

【摘要】：套代数是一类非常重要的非自伴非交换算子代数,它与不变子空间问题密切相关,是Robust控制一个非常重要的应用背景.本文主要讨论套代数的相关问题.第一章介绍了套代数和斜Toeplitz算子相关背景,以及套代数可逆元群连通性问题现有结果；第二章基于前人的工作,讨论了下三角代数一类可逆元的连通性问题；第三章对k∈Z+我们给出了以“长度”小于等于k的多项式为符号的k阶斜Toeplitz算子的谱,考虑了它们的(U+K)轨道闭包；最后证明了k∈Z+,以有界余解析函数为符号的k阶斜Toeplitz算子的有限线性组合在乘法和加法下封闭,按算子范数取闭包,再取共轭得到下三角套代数的一个子代数.这个代数介于H∞(Ⅱ)和下三角代数之间,H∞(Ⅱ)的极大理想,稳定秩都是很清楚的,而由于下三角代数的复杂性,这些问题只有部分结论,因此考虑k∈Z+以有界余解析函数为符号的k阶斜Toeplitz算子共轭生成的套代数的子代数的相关问题是很有意义的.此外套代数是控制论的一个很重要的应用背景,稳定线性时不变系统等同于解析Toeplitz算子,稳定的线性系统等同于下三角套代数,k∈Z+,以有界余解析函数为符号的k阶斜Toeplitz算子共轭生成的子代数是考虑控制相关问题的合适的背景.