收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

多项式的外秩、收缩以及相关性问题

金永  
【摘要】:设f(X)∈k[X],我们称f(X)的所有同构象中所依赖的变元xi的最小个数为f的外秩(outer rank),简记为Orank(f)一直以来,具体指明给定元素的外秩是许多代数系统(如自由李代数,自由群)重要的研究课题.然而,据我们所知,关于多项式环上的外秩并没有太多的研究.在本文中我们以多项式收缩作为工具具体给出了一类多项式的外秩.另外,如果自同态将每一个多项式变成一个与该多项式具有相同外秩的多项式,那么我们就称该自同态保持外秩.由外秩的定义容易知道,多项式外秩是一个自同构不变量.自然地,我们会问一个保持外秩的自同态是否为自同构.这个问题被称作外秩保持问题.本文第二章首先给出一类多项式的外秩,在此基础上对外秩保持问题进行了研究. 定理2.2.1设则Orank(g(x,y))=1当且仅当等价地,Orank(g(x,y))=2当且仅当q(x,y)∈k[x,y]\k[y]. 定理2.2.2设且φ保持外秩.若φ的象中含有坐标,则φ是自同构. 推论2.2.4设如果φ保持外秩,并且有非常数多项式u(x,y)使得那么φ是自同构. 设R为k[X]的子代数.如果R为k[X]的幂等自同态的象,那么就称R为k[X]的收缩.多项式收缩既有理论意义又有应用价值.1977年,Costa证明了, 1)如果trdegk(R)=0,那么R=k; 2)如果trdegk(R)=1,那么存在g(X)∈k[X]使得R=k[g]; 3)如果trdegk(R)=n,那么必有R=k[X].特别地,k[x,y]上的收缩为k上的多项式环.进一步,他提出下面的问题:k[X]的收缩是否都是k上的多项式环的形式(n≥3)?同时他还说明,如果该问题有肯定回答,那么Zariski消去猜测成立.Zariski(?)消去猜测是代数几何领域一个尚未证明的著名猜测.另一方面,人们还发现多项式收缩有许多重要应用,如,1999年,Shpilrain和Yu利用收缩给出了2维Jacobi猜测的一个等价形式:设为满足Jacobi条件的2维多项式映射,则Jacobi猜测成立等价于k[f1]或k[f2]为k[x,y]的收缩.2008年,Gong和Yu利用收缩证明了2维自同构轨道保持问题.本文第三章对Costa的问题进行了研究,在n=3时,部分地解决了该问题. 定理3.2.1设R为k[x,y,z]的收缩,对应收缩同态为φ,如果trdegkR=2,并且φ的分量中含有坐标p,其中p∈{x,y,z},那么存在坐标f及使得R=k[f,g] 设R为环S的子代数,若对于任意的非零a,b∈S,当ab∈R时必有a∈R且b∈R,则称R为inert-子代数. 定理3.2.2设R为k[x,y,z]的超越次数为2的收缩,如果R为inert子代数,相应的收缩同态φ=(f,g,h)为梯度,且R中无坐标,则.f,g,h线性相关.特别地,R=k[p,q],其中p,q∈{f,g,h}.设R为S的子代数.若对于任意的a,b∈S,当F(a,b)=0时,必有a∈R或b∈R,其中则称R为2-赋值代数. 定理3.2.3设R为k[x,y,z]的收缩,trdegkR=2.如果R为2-赋值代数,则存在p,q∈R,使得R=k[p,q].进一步,存在r∈k[x,y,z]使得k[x,y,z]=k[p,q,r]. Jacobi猜测是说,Jacobi行列式为非零常数的多项式映射是可逆的.1999年,这一猜测作为第十六个问题被Smale列入其二十一世纪十八个数学公开问题Jacobi猜测自1939年被Keller提出以来,引起了许多学者的兴趣,它已经成为仿射代数几何领域最著名的问题之一Jacobi猜测还远未得到解决.1982年,Bass等人给出Jacobi猜测的一个经典的约化定理,说明对Jacobi猜测只需证明下面形式的多项式映射F=X+H,其中H为三次齐次多项式映射并且其Jacobi矩阵H'是幂零的.这个约化定理促使人们提出了下列齐次相关性问题HDP(n,d):设H为d次齐次多项式映射且满足H'幂零,则H各分量之间是否线性相关的?2004年,deBondt通过对拟平移的研究首先给出了齐次相关性问题的反例De Bondt进一步考虑了一类特殊的拟平移,设g(X)∈k[X]并且dct(Hg)=0,则存在使得R((?)g)=0.定义G=(?)R。(?)g,则X+G为拟平移.De Bondt在他的博士论文中提出了下面的问题:G的分量是否线性相关的?这是一类特殊的相关性问题,该问题在n≤3时有肯定回答,但当n≥4时为公开问题.本文第四章将对这一问题展开讨论,部分地解决了该问题,特别地,在n=4时,给出G各分量线性相关的一个充要条件. 定理4.2.1设h∈k[x1,x2,x3,x4]满足det Hh=0,并设X+H为对应于h的拟平移. 1)如果rkHh≤2,那么H的各分量线性相关; 2)如果rkHh=3,Ⅱ≠0,并且g为(?)h的关系理想的一个生成元,那么Ⅱ的各分量线性相关当且仅当(?)g各分量线性相关. 推论4.2.2设h∈k[x1,x2,x3,x4]为齐次多项式,如果det Hh=0,那么对于(?)h的任意关系R,(?)R((?)h)的各分量线性相关. 设h∈k[x1,x2,...,xn],如果存在T∈GLn(k)使得h(TX)∈k[x1,x2,...,xn-1],那么就称h退化(degenerate). 定理4.2.2设h∈k[x1,x2,x3,x4,x5]为齐次多项式.如果h退化,那么对于(?)h的任意关系R,(?)((?)h)的各分量线性相关.


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 隋云云;;n值标准序列逻辑系统S_n的子代数及其重言式理论[J];重庆文理学院学报(自然科学版);2008年05期
2 程东明;刘丽丽;;量子群V_q(sl(2))的自同构和反自同构[J];河南科技大学学报(自然科学版);2009年01期
3 刘绍学;每一子代数都是理想的代数[J];数学学报;1964年04期
4 陶惠民;非紧致实半单纯Lie代数的最大非半单纯子代数[J];数学学报;1966年02期
5 孙顺华;含有*-子代数的Banach代数及其应用[J];科学通报;1979年09期
6 奚欧根;;模糊BCK-代数初步[J];浙江师范大学学报(自然科学版);1986年02期
7 杨殿军;;关于Banch代数Z(s)的注记[J];哈尔滨商业大学学报(自然科学版);1988年01期
8 谢开端;;关于局部有限的DI-Lie代数的结构[J];湖南师范大学自然科学学报;1990年01期
9 黄文平;雷天德;;BCI-代数的正则理想[J];陕西师范大学学报(自然科学版);1992年03期
10 沈继忠;;FG-代数[J];江西师范大学学报(自然科学版);1992年02期
11 罗敏霞,张敏,冯永杰;关于诣零代数的理想[J];松辽学刊(自然科学版);1995年02期
12 纪培胜;AF代数中子代数间等距代数同构的扩张[J];数学学报;1996年02期
13 周琦;王登银;;有限Chevalley群作用下的子代数轨道生成的格[J];大学数学;2007年02期
14 李金龙;;BCH-代数的性质和自映射[J];喀什师范学院学报;2007年03期
15 于鸿丽;吴洪博;;多值逻辑系统H_α中的子代数理论[J];计算机工程与应用;2008年05期
16 余德民;梅超群;郭晋云;;一些特殊项链李代数的同态[J];数学年刊A辑(中文版);2009年04期
17 刘绍学;;每一子代数都是左理想的代数[J];北京师范大学学报(自然科学版);1979年03期
18 刘绍学;;理想稠密分布的诣零代数[J];北京师范大学学报(自然科学版);1982年03期
19 李武明;四维Clifford代数Cl_2的若干性质[J];通化师范学院学报;1998年05期
20 于鸿丽;;多值逻辑系统H_α中的重言式分类定理[J];西安文理学院学报(自然科学版);2008年03期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 王敏中;胥柏香;;二维、三维齐次多项式应力、位移的一般表示及其在计算力学中的应用[A];北京力学会第17届学术年会论文集[C];2011年
2 裴礼文;;泛代数中的Fuzzy合同关系及Fuzzy子代数[A];中国系统工程学会模糊数学与模糊系统委员会第五届年会论文选集[C];1990年
3 陈图云;陈文丽;;修正的Atanassov逻辑及其广义重言式[A];中国系统工程学会模糊数学与模糊系统委员会第十一届年会论文选集[C];2002年
4 于加举;王博;刘晓东;;概念的EI代数表示与布尔矩阵表示的研究[A];第12届全国模糊系统与模糊数学学术年会论文集[C];2004年
5 李莹;赵建立;贾志刚;;L-域上的L-半单代数[A];第12届全国模糊系统与模糊数学学术年会论文集[C];2004年
6 张冠军;姜豪;;非负偏序BCH—代数的性质[A];数学·物理·力学·高新技术研究进展(一九九六·第六期)——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第6届学术研讨会论文集[C];1996年
7 杨建;;测量不确定度评定中相关性问题探讨[A];江苏省计量测试学术论文集(2011)[C];2011年
8 张吉柱;王丛菲;;某超长结构温度应力设计[A];第九届后张预应力学术交流会论文集[C];2006年
9 游有鲲;田倩;费志华;刘加平;缪昌文;;缓凝高效减水剂对膨胀混凝土变形性能的影响[A];“全国特种混凝土技术及工程应用”学术交流会暨2008年混凝土质量专业委员会年会论文集[C];2008年
10 张大军;;Sato理论初步[A];Proceedings of CCAST(World Laboratory) Workshop——VOLUME 193 Integrable Systems-Theory and Applications[C];2008年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 金永;多项式的外秩、收缩以及相关性问题[D];吉林大学;2012年
2 刘大艳;齐次多项式映射的相关性问题[D];吉林大学;2009年
3 孙晓松;带有可加幂零Jacobi矩阵的多项式映射[D];吉林大学;2009年
4 郭宏博;赋值Jacobi矩阵之和可逆的多项式映射[D];吉林大学;2012年
5 卫淑云;交叉积C~*-代数的谱不变子代数及Roe代数的拟对角性[D];华东师范大学;2002年
6 曹海军;半格分次弱Hopf代数及其结构[D];浙江大学;2005年
7 张韶华;欧几里德算法及相关问题研究[D];山东大学;2010年
8 何桐;幂次线性Keller映射[D];中国科学技术大学;2006年
9 李建涛;导子的交换基,Darboux多项式及tame自同构的多重次数[D];吉林大学;2012年
10 李云峰;混凝土结构环境模拟试验技术及相关理论研究[D];河海大学;2005年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 戚现龙;一类广义Witt代数(?)[G]的子代数及其自同构[D];青岛大学;2012年
2 王玉娟;RTA型代数结构的探讨与研究[D];青岛大学;2012年
3 李然;von Neumann代数的CSL子代数上的插值问题[D];南京理工大学;2012年
4 刘建波;4维3-李代数的实现和n-李代数的可解性[D];河北大学;2004年
5 周琦;认证码的构造与有限Chevalley群子代数轨道生成的格[D];安徽大学;2004年
6 王瑜;约化群对约化型齐性空间的proper作用[D];河南大学;2007年
7 张旭升;含约束的线性丢番图方程组求解[D];吉林大学;2009年
8 宋国杰;n+2-维n-Lie代数的分类[D];河北大学;2009年
9 张旭;耦合扩张映射与混沌[D];山东大学;2009年
10 于加举;概念的EI代数表示和布尔矩阵表示的研究[D];大连海事大学;2005年
中国重要报纸全文数据库 前10条
1 裴远颖;俄罗斯的战略性收缩[N];中国经济时报;2002年
2 商讯;美国经济持续收缩 可能降息至4%[N];国际商报;2001年
3 林志新;为收缩之名 行扩张之实[N];中国财经报;2002年
4 李再勇;“退二进三”和收缩国企战线[N];中华工商时报;2001年
5 本报记者 侯雪莲;着眼国际 科龙收缩多品牌[N];中国经营报;2000年
6 赵丙炎;草坪业:市场前景正在收缩[N];农民日报;2002年
7 本报记者 王曰文;收缩工程 根治亏损病[N];中国煤炭报;2000年
8 通讯员 刘献武 段振杰 记者 李庆国;收缩“米袋子”丰富“菜篮子”[N];农民日报;2000年
9 本报记者 韩国卿;北京市人均保费达847元[N];中国保险报;2001年
10 记者 计纲;套标机市场做开了[N];中国包装报;2001年
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978