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多元有理插值问题的Fitzpatrick-Neville型算法

夏朋  
【摘要】:科研和工程实践中常面临许多非线性问题,函数逼近是处理这些问题的重要方法之一.代数插值是常用的逼近方法,它可以通过函数在有限个点处的取值估算函数在其他点处的值或构造出与之相近的简单函数(多项式或者有理函数).与多项式插值相比,有理插值能反映函数的一些固有特性(如被插函数f(x)存在极点或当x→∞时f(x)趋于某一定值),并且在相同的计算复杂度下,有理插值可以实现比多项式插值更精确的逼近.因此研究有理插值问题是很必要的.本文利用代数几何的理论和方法研究多元Cauchy型有理插值、多元切触有理插值、向量值切触有理插值及多元多项式插值.主要工作如下: 第二章给出了多元Cauchy型有理插值问题的Fitzpatrick算法,并在此基础上给出了多元Cauchy型有理插值问题的Fitzpatrick-Nevill型算法,从而实现了可直接计算Cauchy型有理插值函数在指定点的函数值,而无需计算出插值函数的解析形式.多元Cauchy型有理插值问题: 给定L个不同的点Y1,...,YL∈Kn,对应的函数值为f1,...,fL∈K.构造有理函数使其满足其中α∈P=K[X], b∈P为多项式,且b(Yi)≠0,1≤i≤L.该问题称为多元Cauchy型有理插值问题. 以下将a(X),b(X)简记为a,b. 定义1称(a,b)∈P2为多元Cauchy型有理插值问题的弱插值,如果bfi-a=0mod Ii=1,...,L, 其中Ii=X-Yi. 定义(a, b)+(c, d)=(a+c,b+d), g(a,b)=(ga, gb),则由全体弱插值所组成的集合M={(a,b):bfi-a=0mod Ii,i=1...,L}为P2中的一个子模. 定义2(P2中的单项序(?)ξ) (1)定义Xα(1,0)(?)ξXβ(1,0)当且仅当|αl|β|,或者|α|=|β|且Xα(?)lex Xβ; (2)定义Xα(1,0)(?)ξXβ(0,1)当且仅当|αl≤|β|+ξ; (3)定义Xα(0,1)(?)ξXβ(0,1)当且仅当|αl|β|,或者|α|=|β|且Xα(?)lex Xβ;其中(?)为P中的字典序,ξ为一给定整数. 易证(?)是P2上的单项序.该单项序的作用是控制分子分母的次数. 固定P2上的单项序(?).利用Fitzpatrick算法可递推地计算出模M的Grobner基.假设{(a1,b1),...,(amL,bmL)}是模M相对于单项序(?)ξ的Grobner基,则任何弱插值(a,b)均可表示成其中勺∈P(j=1,...,mL)为参数.选择适当的参数cj使得b(Yi)≠0,i=1,...,L,则即为多元Cauchy有理插值问题的一个解.本章在此基础上给出了多元Cauchy型有理插值问题的Fitzpatrick-Nevill型算法,从而实现了可直接计算Cauchy型有理插值函数在指定点的函数值,而无需计算出插值函数的解析形式. 第三章给出了多元切触有理插值问题的Fitzpatrick算法.并利用Hermite插值基函数的性质对Fitzpatrick算法进行修正,修正后的算法可实现直接计算插值函数在指定点的函数值,而不必计算出插值函数的解析形式.修正后的算法称为切触有理插值问题的Fitzpatrick-Neville型算法.多元切触有理插值: 给定L个不同的节点Y1….,YL∈Kn,以及相应的导数值fi(α)∈K,i=1,…,L, α∈Ai(Ai为包容集,亦称为lower set)求有理函数使其满足其中a∈P,b∈P,b(Yi)≠0,i=1,…,L该问题称为多元切触有理插值问题. 由Dαr(Yi)=fi(α),(?)α∈Ai,i=1,…,L,可知r(X)在Yi点处插值等价于r(X)在X=Yi点处的Tay1or展式满足 令si=#Ai(i=1,…,L),N=(?)令Ii,si-1={p∈P:Dαp(Yi)=0,(?)α∈Ai}. 对每个点Yi及相应的包容集Ai定义多项式hi定义3称(a,b)∈P2为多元切触有理插值问题的弱插值,如果(a,b)满足a≡bhi mod Ii,si-1,i=1,…,L.同样的,定义(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),g(a,b)=(ga,gb),则M={(a,b):a≡bhi mod Ii,si-1,i=1,…,L}为P2的一个子模. 因此可以利用Fitzpatrick算法求解多元切触有理插值问题.本章还利用Hermite插值基函数的性质对Fitzpatrick算法进行修正,获得切触有理插值问题的Fitzpatrick-Neville型算法,该算法可以实现直接计算切触有理插值函数在指定点处的函数值,而不必计算出插值函数的解析形式. 向量值有理插值问题是标量有理插值问题的推广.第四章利用Fitzpatrick算法求解多元向量值切触有理插值问题,并利用Hermite插值基函数的性质对Fitzpatrick算法进行修正,建立了多元向量值切触有理插值问题的Fitzpatrick-Neville型算法,即可实现直接计算插值函数在指定点的函数值,而不必计算出插值函数的解析形式. 多项式插值问题可视为特殊的有理插值问题.第五章给出了多元多项式插值的Fitzpatrick-Neville型算法,该算法不但可以直接计算插值多项式在指定点的函数值,而且可以直接计算插值函数在指定点的导数值(无需计算出插值多项式的解析形式).


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