收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

具非线性源的反应扩散方程(组)解的存在性和爆破

高云柱  
【摘要】:在自然界中,广泛存在着各种各样的反应扩散现象.它们的数学模型可以部分归结于对一些抛物方程(组)的研究.在流体力学,物理学,化学,相变理论,图像处理,生物种群以及渗流理论等领域,都提出了许多具有适当初边值条件的抛物方程来描绘扩散现象.近几十年来,许多学者对这些抛物方程不断研究,并取得了重大的进展. 众所周知,虽然许多扩散现象所导出的模型可以用线性方程来描述,但是许多现实模型却只有用非线性方程才能表达.用于描述这些模型的抛物方程通常具有非线性项,并且还可能具有退化性或者奇异性.虽然这些性质能够更精确地反映一些实际现象,但是也增加了研究问题的难度.例如方程的各种非线性项(扩散项,源项,边界项)都会对爆破现象起着一定的推动或者阻碍作用. 本文主要研究了一些具有非线性源的反应扩散问题.所讨论问题包括带有p(x)-Laplace算符的扩散项,非局部边界条件,局部源,局部化源,非局部源及他们之间的耦合对方程解的存在性和爆破的影响.本文共分三章,主要内容如下: 在绪论中,我们简单介绍了反应扩散方程的背景和已有研究工作,然后我们简要说明了本文的主要工作以及待讨论的问题. 在第一章中,我们研究了在非局部边界条件下,某些扩散方程解的存在性和爆破问题.这类局部源及局部化源具有复杂程度不同的非线性性质.我们克服了这些非线性项给研究问题所带来的困难,利用上下解和比较原理等方法,最终证明了解的存在性和有限时刻的爆破性. 在第一章的第一部分,我们讨论的是如下具有局部源和非局部边界条件的多方渗流方程: 其中m1,a0,n0,p≥0及q0都是常数,Ω是RN(N≥1)上的有界区域并具有光滑边界(?)Ω,x0∈Ω是固定点k(x,y)≠0是非负连续函数,这里x∈(?)Ω且y∈Ω,初始值u0(x)为正的连续函数.注意到方程(1)具有非线性局部源与局部化源的乘积项upuq(x0,t)和非局部边界条件u(x,t)=∫Ωk(x,y)un(y,t)dy,这给我们研究问题带来了一定的困难.我们所采取的办法是利用比较原理,并通过构造上下解获得了解存在性和爆破性的一些结果.我们所获得的主要结果为: 定理1假设∫Ωk(x,y)dy=1,x∈(?)Ω.则当p+q≤1且0n≤1时,问题(1)的每一个解整体存在,同时p+q1及n=1时,解在有限时刻爆破. 定理2假设∫Ωk(x,y)dy1,x∈(?)Ω.则当p+q1,n≥1且u0(x)足够大时.问题(1)的解在有限时刻爆破. 定理3假设∫Ωk(x,y)dy1,x∈(?)Ω. (ⅰ)如果p+qm且0n≤1,则问题(1)的每个解整体存在; (ⅱ)如果p+q=m且0n≤1,若a是充分小的,则问题(1)的每个解整体存在; (ⅲ)如果p+qm且n≥1,则若u0(x)或a较小,那么问题(1)的解u(x,t)整体存在,同时若u0(x)足够大,那么u(x,t)在有限时刻爆破. 定理4假设p+q≥m,则如果u0(x)和a充分大,问题(1)的解在有限时刻爆破. 接着,在第一章的第二部分,我们进一步讨论了具非局部边界条件和非局部源的多方渗流方程: 其中m1,a0,p0,q≥0均为常数,Ω∈RN(N≥1)是有界区域,具有光滑边界,k(x,y)≠0为(?)Ω×Ω上的非负连续函数,u0(x)是正的连续函数.我们证明了该问题解的存在性和爆破性.我们所获得的主要结果为: 定理5假设Ωk(x,y)dy=1,x∈(?)Ω.则当p+q≤1且0n≤1时,问题(2)的每一个解整体存在,同时p+q1及n=1时,在有限时刻爆破. 定理6假设∫Ωk(x,y)dy1,x∈aΩ. (i)如果p+qm且0n≤1,则问题(2)的每个解整体存在; (ii)如果p+q=m且0n≤1,若a是充分小的,则问题(2)的每个解整体存在; (iii)如果p+qm且n≥1,则若u0(x)或a较小,那么问题(2)的解u(x,t)整体存在,同时若u0(x)足够大,那么u(x,t)在有限时刻爆破. 最后,在第一章的第三部分,我们还讨论了具非局部边界条件和局部源的非线性抛物方程: 其中0m1,a0,n0是常数,Ω是RN(N≥1)上的有界区域,具有光滑的边界,k(x,y)(?)0为(?)Ω×Ω上的非负连续函数,u0(x)是正的连续函数.我们证明了该问题解的存在性和爆破性.假设: (A1)f∈C([0,∞))∩C1(0,∞)使得f(0)≥0并且f'(s)0,s∈(0,∞). (A2)f在(0,∞)上是凸函数,并且对某个 我们所获得的主要结果为: 定理7假设(A1)成立,且∫Ωk(x,y)dy≤1,x∈(?)Ω.(ⅰ)如果0n≤1,且a足够小,则问题(3)的解是整体存在的;(ⅱ)如果n≥1,f(s)=o(s),s→0而且u0(x)充分小,则问题(3)的解是整体存在的. 定理8假设(A1)-(A2)成立,如果a充分大或u(x0)足够大,则问题(3)的正解在有限时刻爆破. 在第二章中,我们在第一章研究常指数的基础上,讨论了具变指数和非局部边界条件的扩散方程解的存在性和爆破性,也研究了具变指数的非线性扩散方程组的初边值问题.在第二章中,针对源项的复杂性,我们进行了更细致的讨论,最终得到了解的存在性和爆破性等结果. 在第二章的第一部分,我们研究了如下具变指数及非局部边界条件的扩散方程: 其中Ω(?)RN是有界区域且具有光滑边界(?)Ω,p0且l0.这里c(x,t)≥0是一个定义在x∈Ω且t≥0上的局部Holder连续函数,k(x,y,t)≥0是一个定义在x∈(?)Ω,y∈Ω且t≥0上的连续函数.初值u0(x)≥0是一个连续函数.我们克服了变指数非局部源和非线性边界条件所带来的困难,讨论了该问题解的整体存在性和爆破性.我们所获得的主要结果为: 定理9设Ω(?)RN是有界光滑区域,并且设max{p-,l}1,p(x)满足给定条件.则对于充分大的初值u0(x),问题(4)的正解u在有限时刻爆破. 接着,在第二章的第二部分,我们讨论了如下具变指数的非线性扩散方程组的初边值问题: 其中α0,β0是常数,Ω(?)RN是一个有界区域具有光滑边界(?)Ω且0T∞,QT=Ω×[0,T),ST定义为QT的外边界.源项的形式是f(v)=vp1(x)和g(u)=up2(x). 其中指数p1(x),p2(x):Ω→(1,+∞)满足下列条件:我们研究了在这类源项条件下,该问题解的存在性和爆破性.我们所获得的主要结果为: 定理10设Ω(?)RN是一个有界光滑区域,p1(x),p2(x)满足条件(6)和(7),且假设u0(x)和u0(x)是非负连续有界函数.则存在T0,0T0≤∞,使得问题(5)在QTo上有一个非负有界解(u,v). 定理11设ΩRN是一个有界光滑区域,且(u,v)是问题(5)的一个正解,指数p1(x),p2(x)满足条件(6)和(7).则,对充分大的初值(u0(x),u0(x)),存在有限时间T*0使得sup0≤t≤T*|||(u,v)|||=+∞. 最后,在第二章的第三部分,我们考察了如下具变指数的非线性抛物及双曲方程组的初边值问题: 其中Ω(?)RN是有界区域具有光滑边界(?)Ω,且0T∞,QT=Ω×[0,T), ST定义为QT的外边界,指数p1(x),p2(x)是给定的函数满足条件(6)和(7).源项的形式分别是f1(u,v)=a1(x)vp1(x)和f2(u,v)=a2(x)up2(x), 或者 以及 源项的形式分别是f1(u,v)=a1(x)up1(x)和f2(u,v)=a2(x)up2(x), 或者其中连续函数a1(x),a2(x):Ω→R满足下列条件: 0c1≤a1(x)≤C1+∞,0c2≤a2(x)≤C2+∞(10)我们所获得的主要结果为: 定理12设Ω(?)RN是一个有界光滑区域,(u,v)是问题(8)的一个正解,并且p1(x),p2(x),a1(x),a2(x)满足条件条件(6)、(7)和(10).则问题(8)的解在有限时刻T*爆破,如果初始值(u0(x),u0(x))满足 其中φ是Ω上的第一特征函数,C仅依赖于区域Ω和C1,G2的一个固定的正常数. 定理13设(u,v)∈C2×C2是问题(9)的解,并且条件(6)、(7)和(10)成立.则存在充分大的初始值u0,v,u1,v1使得问题(9)的任何解在有限时刻T*爆破. 在第三章中,我们讨论了两类具变指数高阶扩散方程解的存在性和爆破性,由于不能使用通常的比较原理,给问题带来了一定困难. 首先,在第三章中的第一部分,我们考察了如下的高阶扩散方程的初边值问题: 其中Ω(?)RN是有界区域且具有C1,1的边界(?)Ω,QT=Ω×(0,T],ST定义为QT的外边界,α0是参数.指数p(x),q(x)∈C(Ω)具有连续对数模且满足: 我们得到如下主要结果: 定理14设u0(x)∈H01(Ω)∩H2(Ω),且p(x)≥q(x)满足条件(12).则初边值问题(11)至少有一个解. 定理15设p(x)g(x)≤p+1满足所给条件(12).则初边值问题(11)至少存在一个弱解. 接着,在第三章的第二部分,我们研究下列具变指数非线性高阶伪抛物方程的初边值问题:其中Ω(?)RN有界区域具有C1,1边界(?)Ω,QT=Ω×(0,T],ST定义为缸QT的外边界,μ0是黏性系数,α0是参数,μ(?)△u/(?)t作为插入的黏性相关能量.变指数p,g:Ω→(1,+∞)是连续函数.我们得到如下主要结果: 定理16假设u∈W且p(x)≥g(x)足条件(12).则,问题(13)至少存在一个弱解. 定理17设u0(x)∈H01(Ω)∩H2(Ω),且p(x)≥q(x)≥max{1,2N/N+2}满足条件(12).则初边值问题(13)至少存在一个解. 定理18假设满足条件(12).则问题(13)至少存在一个弱解.


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 沈玮熙 ,郑宋穆;非线性抛物型方程的非局部初边值问题[J];复旦学报(自然科学版);1985年01期
2 王法明;;一个非线性抛物型方程初边值问题的解的唯一性和渐近性[J];浙江理工大学学报;1987年03期
3 钮鹏程;;某类非线性发展方程的Blow—up[J];青海师专学报;1990年04期
4 李云;;一类反应扩散方程组广义解的存在性问题[J];武汉理工大学学报(交通科学与工程版);1992年04期
5 查中伟;;半线性抛物方程初边值问题解的Blow up[J];应用数学;1992年01期
6 刘亚成;非线性拟抛物方程解的熄灭[J];四川师范大学学报(自然科学版);1993年02期
7 张健,何继标;非线性Schrdinger方程全局解的不存在性[J];四川师范大学学报(自然科学版);1993年06期
8 段文英,高威;一类重特征方程初边值问题的离散现象[J];哈尔滨理工大学学报;1995年01期
9 呼青英,张宏伟;具阻尼的非线性双曲方程初边值问题的能量衰减性[J];工程数学学报;2005年05期
10 查中伟;;具有非线性边界条件的拟线性抛物型方程爆破解(英文)[J];重庆三峡学院学报;2006年03期
11 陶双平;陆善镇;;半直线上修正Kawahara方程的初边值问题[J];数学学报;2007年02期
12 李红;郭基风;;一类具弱阻尼的奇性扰动Boussinesq型方程的位势井方法[J];郑州大学学报(理学版);2007年03期
13 许志奋;吴斌;;一个强耦合系统的整体吸引子的存在性[J];福建师范大学学报(自然科学版);2007年06期
14 杨辉;;Derivative swift-Hohenberg方程的初边值问题解的存在性[J];数学的实践与认识;2008年03期
15 石黎娟;张建文;;一类具记忆项的粘弹性板方程的初边值问题[J];太原理工大学学报;2008年S2期
16 李龙;詹华税;;一类拟线性退化抛物方程的古典解[J];集美大学学报(自然科学版);2010年02期
17 逯丽清;李胜家;;一类耦合非线性波动方程全局解的存在性[J];数学的实践与认识;2010年23期
18 卞春雨;;一类非线性四阶波动方程的初边值问题[J];哈尔滨师范大学自然科学学报;2010年04期
19 王作君;郑德忠;郑成博;郑世科;;电磁弹性动力学初边值问题12类变量广义变分原理[J];计算力学学报;2011年01期
20 李龙;詹华税;;一类拟线性退化抛物方程的古典解[J];集美大学学报(自然科学版)网络版(预印本);2010年02期
中国重要会议论文全文数据库 前10条
1 闫萍;;非线性人口发展模型的整体经典解[A];2006“数学技术应用科学”[C];2006年
2 沈春;孙梅娜;;一个加热影响热带环流模式的适定性分析[A];第二十届全国水动力学研讨会文集[C];2007年
3 张衡;张武;;三维抛物型初边值问题的块三对角可扩展并行算法[A];2007年全国开放式分布与并行计算机学术会议论文集(上册)[C];2007年
4 刘高联;;哈密顿原理中时端条件的处理方法及其推广[A];钱学森技术科学思想与力学论文集[C];2001年
5 张衡;郑汉垣;张武;;二维双曲型方程初边值问题的块三对角可扩展并行求解算法[A];2009年全国开放式分布与并行计算机学术会议论文集(下册)[C];2009年
6 邹伟;;人才管理系统的最优控制[A];1999中国控制与决策学术年会论文集[C];1999年
7 袁益让;;半导体瞬态问题计算方法的新进展[A];全国计算物理学会第六届年会和学术交流会论文摘要集[C];2007年
8 张春丽;祁月盈;刘学深;丁培柱;;激光与一维模型原子相互作用及高次谐波转化效率的提高[A];中国力学学会学术大会'2005论文摘要集(上)[C];2005年
9 袁光伟;沈隆钧;周毓麟;;非线性抛物型方程组具有并行本性的迭代方法[A];中国工程物理研究院科技年报(2002)[C];2002年
10 杨骁;邱波;徐小辉;;部分水中弹性支承梁的非线性动力响应[A];第18届全国结构工程学术会议论文集第Ⅰ册[C];2009年
中国博士学位论文全文数据库 前10条
1 张贵洲;一些带耗散结构的双曲方程初边值问题解的大时间行为[D];上海交通大学;2013年
2 杨志坚;两类非线性数学物理模型方程的初边值问题[D];郑州大学;2000年
3 吕志伟;非线性微分方程初边值问题的解[D];中国科学技术大学;2011年
4 李颖花;具周期位势或周期源的高阶扩散方程[D];吉林大学;2008年
5 闫晗;一类带有非牛顿位势的正则化Vlasov方程初边值问题[D];吉林大学;2009年
6 李太龙;Landau-Lifshitz方程的几点研究[D];浙江大学;2007年
7 邓师瑾;Boltzmann方程初边值问题的Green函数方法[D];上海交通大学;2009年
8 杨灵娥;Camassa-Holm方程和Ginzburg-Landau方程的整体解及其性质[D];中国工程物理研究院北京研究生部;2003年
9 孙杰宝;具周期源的非线性扩散方程(组)[D];吉林大学;2008年
10 王艳萍;非线性发展方程中的几个问题[D];郑州大学;2003年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 薛红霞;两类非线性发展方程的初边值问题[D];郑州大学;2004年
2 王未红;带阻尼项欧拉方程的初边值问题解的存在性研究[D];上海交通大学;2008年
3 刘静;快速反应扩散方程解的整体存在唯一性[D];河南大学;2008年
4 马轶轩;具有强阻尼的非线性梁方程的初边值问题[D];太原理工大学;2008年
5 崔慧萍;非凸单个守恒律初边值问题整体弱熵解的结构研究[D];暨南大学;2005年
6 赵丽英;一类非线性波动方程的初边值问题[D];郑州大学;2006年
7 陆博;一类具有阻尼项的非线性波动方程的初边值问题[D];郑州大学;2007年
8 洪辛欣;多物种互助或竞争模型解的性质[D];北京交通大学;2008年
9 朱艳;一维双极Euler-Poisson方程的有非零边值的初边值问题解的整体适定性[D];上海师范大学;2011年
10 韩献军;一类非线性高阶波动方程的初边值问题和Cauchy问题[D];郑州大学;2002年
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978