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基于应力佳点的双二次元有限体积法

于长华  
【摘要】:有限体积元(FVE)法(又称为广义差分法,控制体积法,盒式方法),由于能够保持质量、动量、能量等物理量的局部守恒性,已成为求解偏微分方程的一种重要的数值方法,特别是计算流体力学,电磁场和半导体模拟等问题.有限体积元格式的建立是基于广义Galerkin形式的变分原理:首先,将求解区域作适当的初始网格剖分Th及相应的对偶剖分Th*.其次,分别构造两种网格对应的试探函数空间Uh和检验函数空间Vh.最后,利用Green公式,将在对偶单元上的面积分转化成沿对偶单元边界的线积分.一般而言,有限体积元法可以看作是介于有限元法和有限差分方法之间的第三类离散方法,其一方面具有和有限元方法相同的H1模收敛速度,适于处理复杂区域及边界问题,另一方面,与有限差分方法类似,离散格式简单易于计算.更重要的是,有限体积元法保持了原始方程的物理量的局部守恒性. 有限元法与有限体积元法的主要区别在于有限体积元法涉及两个空间,即试探函数空间(trial space)和检验函数空间(test space),其中试探函数空间为相应于原始剖分Th的有限元空间,检验函数空间为相应于对偶剖分Th*的分片(低次)多项式空间.1982年,李荣华教授[35]给出了检验函数空间的一般取法,取局部Taylor展式的公项作为对偶单元上的基函数,将积分插值法改写成广义Galerkin法的变分形式,从而将不规则网格差分法推广为广义差分法,此方法被提出后,国内的许多学者对有限体积元法的理论及应用作了广泛深入的研究,包括对椭圆、抛物和双曲型方程的有限体积元格式的构造及相应的理论分析,从而对有限体积元法建立了一套系统而完善的理论框架,这些研究的大部分结果已总结在文献[6,7]的专著里.由插值逼近理论可知,k次Lagrange逼近多项式插值对一阶导数的逼近一般只能得到k阶精度,即使被插值逼近函数具有更高的光滑度,但这并不排除在一些特殊点上,导数逼近误差能达到更高的精度,这些超收敛点在物理上称作应力佳点.目前,已有不少文献对基于这些应力佳点的有限体积元法进行了一定的研究,主要的文献可参考([810]). 对于一维两点边值问题,文[11]构造了一类求解两点边值问题的二次元有限体积法,试探函数空间取相应于原始剖分的Lagrange型二次有限元空间,在原始剖分的基础上使用对分法作对偶剖分,检验函数空间取相应于对偶剖分的分片常数函数空间,证明了该有限体积元格式具有最佳阶的H1模收敛阶.文[8]构造了一类新型的高次元有限体积法,使用了应力佳点(Gauss点)作为对偶单元的节点,尽管其对偶剖分与检验函数空间的构造比较复杂,但却保证了有限体积元法与相应有限元法的双线性形式的差是小量,从而借助于有限元法的理论结果,获得了有限体积法的一系列收敛性结果,包括H1估计,L2估计和超收敛估计.文针对两点边值问题构造了一类新的Lagrange型二次元有限体积法,其对偶剖分的方式与文不同,选取了二阶Gauss点(应力佳点)作为对偶单元的节点.接着,证明了新方法具有最佳阶的H1模和L2模收敛阶,并讨论了误差解在应力佳点处一阶导数的超收敛估计. 通过数值算例表明,文中二次有限体积元格式的L2模收敛阶不是最优的,仅有和H1模相同的收敛阶,并且不存在二阶Gauss点(应力佳点)处数值梯度的超收敛性;而文中二次有限体积元格式的L2模收敛阶是最优的,即比H1模有高一阶的收敛性,并且在应力佳点处存在数值梯度的超收敛性.即文构造的二次元有限体积法比文在L2范数下有更高的收敛性.文构造了一类求解二维椭圆问题的双二次元有限体积法,其对偶剖分的方式与文类似,也给出了H1模误差估计的证明.本文中,通过选取矩形单元的四个插值应力佳点(Gauss点)作为对偶单元的节点,我们首先针对Poisson方程构造了一类新的Lagrange型双二次元有限体积法,接着,对新方法进行了稳定性和收敛性分析,包括H1估计,L2估计和超收敛估计,并通过数值实验验证了理论分析的结果.然后将其推广到二维抛物和二阶双曲型方程,对于二维抛物和二阶双曲型方程的半离散和全离散双二次元有限体积法的误差估计,可以借鉴有限元法的理论和方法,得到基本平行的结果,但另一方面,由于有限体积元法涉及到两个空间,出现了a(·,Πh·)和(·,Πh·)的非对称性问题,因此,我们需要做特别的处理.本文的创新点有以下几个方面: (1)构造了求解Poisson方程的一类新的Lagrange型双二次元有限体积法.新方法与文中双二次元有限体积法作对偶剖分的方式不同,选取了矩形单元的四个插值应力佳点(Gauss点)作为对偶单元的节点,试探函数空间取双二次有限元空间,检验函数空间取相应于对偶剖分的分片常数函数空间.证明了新方法具有最优阶的H1模和L2模收敛阶,并讨论了在应力佳点处平均数值梯度的超收敛性.最后,数值实验验证了新方法比已有方法有更高的精度和理论分析的结果. (2)结合求解椭圆方程中新格式的构造思想,我们给出了求解二维抛物型方程的半离散和全离散双二次有限体积元格式.解决了a(·,Πh*·)和(·,Πh*·)的非对称性问题,然后分别对两种格式进行了收敛性分析,包括H1估计,L2估计和超收敛估计.最后,通过数值实验验证了新格式的高精度和理论分析的结果. (3)将新方法推广到二阶双曲型方程,构造了一全离散双二次有限体积元格式.得到了具有最优阶的L∞(H1)模和L∞(L2)模误差估计,讨论了在应力佳点处平均数值梯度的超收敛估计.最后,我们进行了数值算例比较,验证了新格式的高精度和理论分析的结果.


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