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动力系统复杂性研究

楚振艳  
【摘要】:在动力系统领域,一个重要的课题是研究与系统复杂性相关的问题.在描述系统复杂性的语言中,混沌是一个重要的概念.目前对混沌的研究正处在从现象到理论的探索阶段,随着人们对混沌概念认识的不断加深,各种混沌现象不断被发现,各种判据和分析方法相继被提出,因而探讨混沌的不同刻画之间的关系是混沌理论研究面临的首要问题. 本文涉及拓扑传递属性与混沌之间的关系,不同混沌刻画之间的关系和混沌集存在的条件等.主要结果包括: (1)构造了拓扑混合但不是分布混沌的子移位,以此说明拓扑混合或拓扑弱混合的映射未必是分布混沌的. (2)给出了一般紧致系统在非弱几乎周期的回复点集上存在分布混沌集的条件;引进了耦合映象格子混沌的定义,给出了耦合映象格子存在分布混沌集的条件;引进了时滞移位映射的概念,讨论了时滞移位映射的拓扑性质,证明了时滞移位映射是分布混沌的. (3)证明了在至少含两点的局部紧致度量空间上,拓扑弱混合或拓扑混合蕴涵按序列分布混沌,进而推出拓扑弱混合或拓扑混合蕴涵Li-Yorke混沌. (4)给出了在没有孤立点的完备度量空间中存在按序列分布混沌集的条件,进而说明Devaney混沌强于按序列分布混沌;证明了紧致度量空间上的连续自映射f,若有几乎转移不变集,则它在非几乎周期的弱几乎周期点集上,存在不可数的按序列分布混沌集. (5)对任意s∈(0,1),证明了存在有限型的区间连续自映射,使得其非游荡集的Hausdorff维数为s,并证明了该映射限制在非游荡集上具有拓扑熵大于零、Devaney混沌、分布混沌、混合和Li-Yorke敏感等复杂的动力性态. (6)探讨了连续函数序列的一致极限,给出了该极限函数是弱混合、Li-Yorke敏感和按序列分布混沌的条件.


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