厄米高斯波束法的若干问题研究

【摘要】：高斯波束法由射线理论发展而来，传统的射线理论能非常好地模拟波场的运动学特性，如走时、射线路径，但对于振幅等动力学特性，却面临诸多问题，诸如焦散区失效，存在阴影区等。为了克服存在的问题，大量校正函数和新的想法被引入，其中高斯(Gaussian)波束法，凭借着简单、快速、灵活的特点，被迅速地应用于地震学正演、反演以及成像的各个领域。 高斯波束法是一种介于波动理论和几何射线理论之间的高频渐近理论。传统射线方法中，能量被封闭于射线管内，但高斯波束通过引入复数振幅，既保证了振幅的正则性，又允许少量能量的外溢。其实，早在上世纪60年代，高斯波束就存在于电磁波领域的相关研究中，用于描述电磁波场的传播。最近几十年，其作为激光束横向振幅分布的基础模式，而频繁出现在光学领域。随着研究的深入，简单的高斯波束模式已逐渐无法满足激光光学的科研需要，多种基于高斯波束的高阶波束概念相继提出，诸如厄米(Hermite)高斯波束，拉盖尔(Laguerre)高斯波束，因斯(Ince)高斯波束，超几何(Hypergeometric)高斯波束等。数学上，高斯波束为傍轴波动方程的基础零阶解，理论上，其方程存在多组正交解集，而任何实际激光束的振幅剖面都可通过任一组正交解集线性叠加获得，这也意味着可以设计具有复杂振幅分布的激光波束。 基于此类概念，本文希望能将厄米高斯波束这种高阶波束引入到地震领域中，依靠高阶波束所提供高斯波束所不具备的，丰富振幅剖面，来改善高斯波束方法的数值模拟效果，这也是本研究的初衷。因此，本文将进行如下方面内容的研究：①不均匀介质厄米高斯波束法整理与拓展：归纳总结了基于厄米高斯波束法的三维地震波场模拟计算；②不均介质中的权函数确定：非严格性地证明了三维介质中权函数的存在，严格推导了二维介质权函数的表达式；③波束参数选择条件研究：详细论述了三维情况下，如何控制波束的物理形态以及总结了参数选择的基本原则；④基于厄米高斯波束法的地震波场数值模拟：进行了均匀介质、水平反射层、不规则反射层等简单地质模型的数值模拟。 基于上述内容，本论文取得以下研究成果：①针对厄米高斯波束的权函数，利用Γ函数证明了三维介质权函数的存在，利用递推关系和围道积分给出了二维权函数的表达式；②详细讨论了二维介质下，厄米多项式对于波束振幅剖面的影响；③研究发现不同阶厄米高斯波束的有效宽度L (s)变化趋势一致，高斯波束法中关于波束参数的讨论可直接应用于厄米高斯波束；④给出了厄米高斯波束线性叠加系数d i的确定方法，并利用描述振幅扩大或缩小的系数a来确定厄米高斯波束的叠加剖面；⑤利用H0+H2阶波束进行数值模拟，可得到更加明显的绕射场记录。 通过相应的数值计算可以发现，虽然利用厄米高斯波束进行波场模拟，仍然保留了波束法一贯的优良特性，且可以模拟更加明显的绕射波场记录，但其中还是有许多问题亟需解决。诸如针对简单介质，厄米高斯波束由于复杂的振幅剖面会损失一定的精度，及如何控制波束叠加不充分区域的计算精度等，厄米高斯波束的多剖面优势尚未得到充分发掘，其前景值得期待。