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非多项式最小二乘有限元法在几种散射问题中的应用

郑恩希  
【摘要】:声波和电磁波散射问题是比较常见的物理问题,其在实际中有着很重要的应用,因此也成为很多科研人员的研究课题.虽然这方面的研究成果数不胜数,但是在处理某些实际问题时仍然存在着大量的困难,例如:大波数问题的数值计算,当解具奇性时的数值计算等.本文主要针对折线形光栅、弧以及开腔体等三种散射体对应的散射问题设计了非多项式最小二乘有限元算法,并分别给出了解的L2误差估计,进行了相关的数值实验,验证了理论结果.非多项式最小二乘有限元法是诸多非多项式有限元算法中的一种.与传统多项式有限元法相比,非多项式有限元法具有如下特点:一,非多项式有限元能更好的表示波动问题解的性态;二,在每个波长内,非多项式有限元仅需要较少的单元即可很好的近似波动问题的解,某些非多项式有限元法甚至不需要网格的大小依赖于波数.本文主要分为两个部分,简介如下. 第一部分为论文的第一章.我们首先介绍了散射问题的概念,背景以及一些应用.其次我们介绍了一些散射问题的基本知识,包括Helmholtz方程的推导,与散射问题相关的三种边界条件和辐射条件, Bessel函数和Hankel函数,以及Dirichletto Neumann映射等.最后我们介绍了积分方程法,人工吸收边界条件,完全匹配层,无限元法,有限元与边界元耦合法等处理无界域问题的方法,以及传统多项式有限元法,单位分解有限元法,超弱变分方法,平面波间断Galerkin有限元法,间断强化法,最小二乘有限元法等几种有限元类的数值算法. 第二部分为论文的第二章,第三章和第四章.在这三章中,我们分别研究了处理折线形光栅、弧以及开腔体等三种散射体对应的散射问题的非多项式最小二乘有限元法,包括算法的构造,误差分析以及数值模拟.除此之外,我们还对矩形开腔体的反问题进行了研究.给出了求解矩形开腔体反问题的非多项式最小二乘有限元法. 1.求解折线形光栅衍射问题的非多项式最小二乘有限元法 我们考虑良导体光栅的时谐衍射问题.设光栅的表面为周期折线Γ,周期为d.定义带状区域S如下:S={(χ,y);0χs,-∞y∞).设Γ0cS为Γ在带状区域S内的一个周期.带状区域S被Γ0分割为两个部分,记Γ0以上的部分为E.假设入射平面波为u,=eiαx-iβy,其中α=ksin(θ),β=kcos(θ),k为波数,-π/2θπ/2为入射角. 于是,一维良导体光栅衍射模型可以如下描述:给定平面入射波u,,求拟周期解u,使得衍射场ud=u-u,满足有界外行平面波条件及如下方程,{△u+k2u=0,在E中,u=0,在Γ0上. 假设Γ的最低点在x轴上,Γ0存在g个尖点p1,p2,…,pq∈R2,且每个尖点所对应的尖角为π/γj﹥0,j=1,2,…,g.若光栅的高度为h,我们定义人工边界Γα={(x,y);0xd,y=αh}和区域Uα={(x,y);0xd,yα}cE.将区域E分解为s+1(s≥g)个单连通区域Ej,j=1,2,…,s+1,并用Γj表示区域Ei的边界. 对每个区域Ej,j=1,2,…,s,定义局部极坐标(γ,θ).其中Ej,j=1,2,…,g的局部极坐标原点选为与其相应的Γ0的尖角处;Ej,j=g+1,…,s,的局部极坐标的原点选在区域Ej的内部. 在子区域Ej,j=1,2,…,g,中,我们定义一个局部的近似空间在子区域Ej,j=j=g+1,…,s中,我们定义如下的局部近似空间在区域Es+1中,定义近似空间 结合上述定义的所有近似空间Vj,j=1,2,…,s+1,我们可以定义试探函数空间V如下V={u∈Lloc2(E);u|Ej∈Vj,j=1,…,s+1}.令Γi,j:=Γi∩Γj.将区域E及相应的分解平移到其左边的一个周期,并用Ej'表示相应的子区域,Γj'表示Ej'的边界.对于i,j≤s,定义Γij'=Γi∩Γj'.令n(x)表示Γi,j或Γj'的一个法方向,特别地,如果x在Γj'上,我们假设n(x)方向向右.对于V中的函数u,定义u在Γi,j和Γi',j上的跃度如下:[u]Γi.j=ε→0lim(χ+εn(χ))-u(χ-εn(χ)),χ=(χ,y)∈Γi [u]Γ'i,j=ε→0limu(χ+εn(χ))-e-iαdu(χ-εn(χ)),χ=(0,y)∈Γ'i,j,χ=(d,y).类似地可以定义δn-δu的跃度[δn-δu].至此,我们定义如下的误差匹配泛函:假设存在ni∈N,j=1,2,…,s,ne∈N以及N∈N,使得Ni,j=1,2,…,s,和Ne满足如下条件:Ni=niN,j=1,2,…,s,Ne=neN.于是我们定义最小二乘有限元法的数值解uN为如下最小二乘问题的解:un=argu∈Vmin(u).(3) 记Ω=E\{(x,y);0xd,yba},则折线形光栅衍射问题的最小二乘有限元解uN与精确解u之间的L2误差满足如下两个定理. 定理1设对所有的n∈Z,k2≠(α0+α)2,uN是最小二乘问题(3)的解,则存在一个常数C0使得||u-uN||0,Ω≤CJ(uN)1/2.(4) 定理2设uN是最小二乘问题(3)的解,则存在常数C0,ω1,使得对任意小的ε'0,有||u-uN||0,Ω≤C(ω-ε')-N.(5).111. 2.求解折线形弧散射问题的非多项式最小二乘有限元法 设Γ是R2中一条不自交的折线形开弧,Γ+和Γ-分别代表Γ的两侧,n(x)+(或n(x))表示Γ上指向Γ+(或Γ-)一侧的单位法向量.令uI=eiαx+iβy可为入射平面波,其中α=kCOS(θ)β=ksin(θ),k0为波数,0≤θ2π为入射角,则TM-极化模式下,二维良导体弧散射问题可表述为:已知入射场u,,求全场u,使得△u+k2u=0,在R2\Γ中,(6) u±=0,在Γ±上,(7)其中us=u-u,为散射场,u±=h→0+limu(χ+hn(χ)±),χ∈Γ. 设Γ的端点与折点共p个,从一端到另一端依次记为A1,A2,…,Ap.在每个折点处,相邻的两条线段张成一组对顶角.如果我们把两个端点处都看成是角度为2π的角,那么这条折线共有2p-2个角.设这2p-2个角分别为π/γ1,π/γ2,…,π/γ2p-2.记Bα为圆心在原点,半径为α的圆.设R∈R,R0,并记ΓR=OBR.令R充分大,使得Γ?BR,并且dist(Γ,ΓR)0.记Ω2=BR\Γ,ΩRe=R2\BR. 设Ω被分解为s(s≥2p-2)个单连通的子区域Ej,j=1,2,…,s.特别的,我们假定Ej,j=1,2,…,2p-2,包含Γ的角,且与Ej对应的角为π/γj,而Ej,j=2p-1,…,s,不包含r的角.与处理光栅衍射问题的最小二乘有限元法类似,我们在每个单元Ej中定义局部极坐标和有限维近似空间Vj.在Ωe中,我们定义总场u=uI+us的近似空间Ve如下其中yj:=R1e2ijπ/Ne∈ΓR1:={|x|=R1,0R1R},j=1,2,…,Ne 综上,我们可以定义非多项式最小二乘有限元法的试探函数空间V如下V={u∈Lloc2(R2\Γ);u|Ωe∈Ve,u|Ej∈Vj,j=1,2,…,s}. 我们定义除边界Γ以外,所有单元交界面所构成的集合为SI,用[u]和[δn-δu]表示函数u及其法向导数的跃度.定义如下泛函 假设存在ni∈N,j=1,2,…,s,ne∈N以及N∈N,使得Ni,j=1,2,…,s,和Ne满足如下条件:Ni=niN,i=1,2,…,s, Ne=neN. 我们用uN表示非多项式最小二乘有限元解,则uN定义为如下最小二乘问题的解:uN=argu∈VminJ(u).(10) 记ΩR2=BR2\r,R2R,则折线形弧散射问题的最小二乘有限元解uN与精确解u之间的L2误差满足如下两个定理. 定理3若uN是最小二乘问题(10)的解,则存在常数C0,使得||u-uN||0,ΩRλ≤CJ(uN)1/2.(11) 定理4若uN是最小二乘问题(10)的解,则存在常数C0,ω1,使得对任意小的ε0,有||u-uN||0,ΩR2≤C(ω-ε)-N.(12) 3.求解矩形腔体正反散射问题的非多项式最小二乘有限元法 设L0,y00,D=(-L,L)×(y0,0)为矩形腔体,R2为R2的上半平面.记开腔体的边界为∑,∑=((-∞,+∞)×{0}∪(?)D\(-L,L)×{0}. 良导体腔体散射问题模型为:给定平面入射波u,,求全场u,使得 其中uI=eiαx-iβy,α=ksin(θ),β=kcos(θ),k为波数,θ∈(-π/2,π/2)为入射角,us为散射场,x=(x,y)为R2中的点.设RL,记ΓR={|χ|=R,y≥0}, Γ={χ∈∑,|χ|R}. 定义区域E为E={|x|R,y0}∪D. 我们将区域E分解为4个单元{E1,E2,E3,E4},使得每个单元Ej,j=1,2,3,4,包含∑的一个角.记E5=(R+2∪D)\E,则半无界域R+2D被分解为5个单元:E1,E2,E3,E4,E5. 与前面两个问题相同,我们分别在E1,…,E4中定义局部极坐标和局部有限维近似空间Vj.在E5中我们定义近似空间V5如下:yj:=R0eiΦj∈ΓR0:={|x|=R0,y≥0},Φj=jπ/N5,j=1,2,…,N5-1,yj'是yj关于x轴的对称点.综上,我们可以定义试探函数空间V如下V={u∈Lloc2(R+2∪D),u|Ej∈Vj,j=1,2,…5}(16) 记Ej的边界为Γj,j=1,2,3,4,并记Γ5=ΓR.令Γi,j=Γi∩Γj,j,j=1,2,…,5.定义泛函 假设存在整数n1,…,n5和N,使得N1,…,N5满足如下条件N1=n1N,…,N5=n5N. 我们用uN表示最小二乘有限元解,则uN定义为如下最小二乘问题的解uN=argu∈VminJ(u). 记ER1=E∪u{x∈R2,R|x|R1},则矩形开腔体散射问题最小二乘有限元解uN与精确解u之间的误差满足如下两个定理. 定理5设uN是最小二乘问题(18)的解,则存在常数C0,使得||u-uN||0,ER1≤CJ(uN)1/2.(19) 定理6若uN是最小二乘问题(18)的解,则存在常数C0,ω1,使得对任意小的ε0,有||u-uN||0,ER1≤C(ε-εE)-N.(20) 下面我们简要介绍一下矩形开腔体反问题及我们的数值算法.设矩形腔体开口的左端点的坐标为(α,0),开口的宽度为l,腔体的深度为h.于是矩形腔体D可以表示为D=(α,α+l)×(-h,0).我们考虑的反问题为:已知曲线ΓR上的近场数据,去反演矩形腔体的三个参数:α,l,h.设非线性算子F为R3到Hs(ΓR)(s≥1/2)上的映射,定义如下:F(α,l,h)=u|ΓR'.(21)其中u为由参数α,l,h确定的矩形腔体D所对应的散射问题的解.使用算子F,反演问题即:已知函数u|ΓR,求解(α,l,h),使其满足算子方程(21).我们使用Newton法求解算子方程(21).我们分别用δα-δF(α,l,h),δα-δF(α,l,h),δα-δF(α,l,h)表示F关于α,l,h的Frechet导数.我们使用非多项式最小二乘有限元法求解案δα-δF(α,l,h),δα-δF(α,l,h)和δα-δF(α,l,h).以求解δα-δF(α,l,h)为例,简要介绍如下:由文献[53],[54]和[100]中的结果,我们有δα-δF(α,l,h)=Ψα,其中Ψα是如下微分方程的解由于上述方程(22)的边界条件含有正问题的解u,我们假设uN是u的最小二乘有限元近似解,并在边界条件中以uN近似的替代u.求解问题(22)时,我们使用与求解uN相同的单元分解.在单E5中,我们取和求解uN时相同的基底,但在其它单元,我们选取的基底有所变化.在E1,E2,E3,E4中,我们取空间可以看到,空间Vjα中的函数严格的满足Helmholtz方程,以及∑\Γα。上的边界条件,并且在Γα上近似满足边界条件.定义非多项式有限元空间Vα如下:Va={u∈Lloc2(R+2∪D),u|Ej,j=1,2,3,4,u|E5∈V5,(24)则Ψα的最小二乘有限元近似ΨNα定义为如下最小二乘问题的解: 综上,求解反问题(21)的Newton法步骤如下: 第一步:令n=0,给定(α,l,h)的初始近似(αn,ln,hn). 第二步:利用非多项式最小二乘有限元法,计算由(αn,ln,hn)定义的矩形腔体正散射问题,得到数值解un,N及un,N|ΓR. 第三步:利用非多项式最小二乘有限元法和上一步得到的uδh-δF,N,计算Ψαn,ΨIn和Ψhn,得到δα-δF(αn,ln,hn),δl-δF(αn,ln,hn)和δh-δF(αn,ln,hn). 第四步:求(δαn,δln,δhn),使得下式达到极小, 第五步:令(αn-1,ln+1,hn+1)=(αn,ln,hn)+(δαn,δln,δhn)为(α,l,h)的新近似. 第六步:令n=n+1,重复第二步到第五步的过程,直到某种停止规则被满足.


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