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几类Lotka-Volterra竞争系统的概周期解

刘巍  
【摘要】:生物数学根本的价值在于它来源于现实又应用于现实.微分方程是从实际间题中抽象出来的数学模型,它刻画的是事物的变化规律与其状态之间的关系.许多现实问题又可归结为微分方程的概周期解问题,概周期现象能更全面的反映事物的变化规律,比如机械振动、天体力学、电力系统、经济学、生态学等领域,研究它们的概周期现象要比周期现象更符合实际,更能解释现实生活.在生态系统不断的发展过程中,周期解、概周期解的存在性问题更吸引了很多学者的注意,成为数学生态学研究的重要课题. 在种群动力学、生态学的研究中,提出了很多数学模型,种群动力学中最经典的模型之一就是Lotka-Volterra系统,由于它的理论与现实意义,Lotka-Volterra系统得到了快速的发展,Lotka-Volterra系统及其推广的模型的动力学性质是数十年来人们经久不息深入研究的课题,由此建立起来的理论方法是生物种群模型研究成果中最基本的内容. 本文是一篇综述类文章,主要对Lotka-Volterra竞争系统及其推广模型就概周期解存在且全局吸引性的问题进行概述.在第一章中介绍了生物数学,概周期解及Lotka-Volterra竞争系统模型的发展历程. 第二章中主要介绍了非自治n种群Lotka-Volterra竞争系统模型利用构造适当的Lyapunov函数方法得到了存在唯一概周期解是全局吸引的一些充分条件. 定理2.2.1如果这个系统满足下列假设成立:(H2)存在一个正数α,使得则系统存在唯一的正概周期解G(t)={u1(t),...,un(t)},t∈R而且G(t)的模包含于 这里 第三章主要是介绍了Lotka-Volterra竞争系统模型的推广模型具有反馈控制的多种群竞争系统模型:利用Lyapunov函数法研究竞争系统概周期解,给出具有反馈控制的多种群竞争系统概周期解全局吸引性的充分条件. 定理3.2.1对于此系统,若假设: (H1*)bi(t),ri(t),aij(t),cij(t),di(t),ei(t),fi(t)都是定义在t∈(-∞,+∞)上的非负概周期函数,成立,则系统在R上存在唯一正有界解若下列假设也成立,即存在常数ωi,si,εi,δi,使得 则Y(t)是唯一正概周期解是全局吸引的.


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