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常数波动率和随机波动率下美式期权定价问题的数值解法

宋海明  
【摘要】:期权作为一种重要的金融衍生产品具有广泛的应用空间,由此导出的期权定价问题,尤其是美式期权定价问题,越来越引起金融领域的关注.期权的定价模型取决于原生资产(标的资产)价格的演化过程.在连续时间情形,原生资产价格的演化过程可以通过一个随机偏微分方程来描述,在此基础上,作为它的衍生物——期权的价格可以利用偏微分方程定解问题来刻画.对于原生资产符合的随机偏微分方程不同的描述就会导出不同的期权定价模型.众多模型中, Black-Scholes定价模型应用最为广泛.在Black-Scholes模型下,美式期权定价问题的解不存在显示表达式,因而对Black-Scholes模型下美式期权定价问题的研究,特别是提出有效的、稳定的、可实现的、快速的数值计算方法已经成为当今金融数学领域的重要课题之一. 本文主要就原生资产价格的波动率为常数和随机数两种情况,以美式看跌期权为例,研究了Black-Scholes模型下的美式期权定价问题.并针对该问题的求解难点给出了相应的处理技巧,最终提出了有效的、快速的计算方法.论文主要做了以下4项工作: 1.在第一章中,我们首先简要回忆了期权发展的历史脉络以及期权的分类方法.之后,通过一些简单的推导,以美式看跌期权为例,介绍了常数波动率情况和随机波动率情况下美式期权定价的Black-Scholes模型.接下来,对Black-Scholes模型下美式期权定价问题的研究状况做了简短的综述.最后,介绍了本文后续章节中涉及的一些数值方法. 2.在第二章中,我们主要针对常数波动率情况下的美式期权定价问题给出了一种分裂的数值算法.这一章主要由以下两部分构成: I.最佳实施边界.在此,我们主要以美式看跌期权为例,来研究常数波动率情况下的美式期权定价问题.对于美式看涨期权,利用看涨—看跌期权的平价公式可以得到类似的结论.当原生资产价格的波动率为常数时,美式看跌期权定价的Black- Scholes模型为:其中s是原生资产的价格,t为时间,P(S,t)表示美式看跌期权的价格.ο,r,q,T和K分别表示原生资产价格的波动率,无风险利率,原生资产的红利率,期权的到期日以及敲定价格.B(t)表示美式看跌期权的最佳实施边界,它把美式期权的求解区域分成两部分,S≤B(t)为实施区域,SB(t)为持有区域. 观察Black-Scholes模型(1),可以发现,期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t)均未知,且两者之间存在依赖关系,这给期权定价问题的求解带来了很大的麻烦.分裂法的主要思想是分两步完成整个求解过程.首先,求解一个非线性的Volterra积分方程,得到最佳实施边界B(t),然后通过求解一个抛物问题得到期权价格P(S,t). 最佳实施边界B(t)的导数在t=T时刻存在奇性,因此均匀网格上的数值方法不能达到较高的精度.在论文中,我们采用了几何网格剖分来解决该问题,最后应用配置法和Newton法耦合求解得到最佳实施边界B(t).在§2.1中,详细描述了B(t)的求解过程.§2.3中的数值实验验证了上述算法的有效性. Ⅱ.期权价格.已知最佳实施边界B(t),在Black-Scholes模型(1)中,选取Diric-hlet边界条件作为左边界条件,则美式看跌期权的定价问题可化为一个标准的抛物问题,求解该问题时,我们遇到了以下三个困难: (1)B(t)是一条曲线,求解区域不规则; (2)求解区域无界,难以直接应用数值方法; (3)给出合理的数值方法计算期权价格P(S,t). 在§2.2中,我们将针对这三个问题给出相应的处理技巧.对于自由边界问题,如果边界光滑或者单调front-fixing变换是解决该问题的一种较好的预处理方法,它可以把求解区域由一个曲边区域化为一个规则区域.本文将应用front-fixing变换来解决第一个困难.对于无界区域问题,完全匹配层(PML)技巧是一种截断定义域的好方法,不仅能使截断后的求解区域较小,达到加速计算的目的,而且还能保证计算精度,因此,我们采用PML技巧解决第二个问题. 通过以上两步变换,美式期权定价问题便化成了一个矩形区域上的定解问题.最后,我们来考虑求解该问题的数值方法.在§2.2.3中,详细描述了求解问题(2.16)的传统的连续型有限元方法(FEM),本文中简称有限元方法.通过§2.3中的数值实验,我们可以看到,相较于其他方法,本文所提算法能够得到更精确的数值结果. 定理1假设u和uh分别是美式期权对应的PML问题(2.16)的真解和半离散数值解,如果初值逼近uh(x,0)满足 则有如下误差估计成立 其中C是一个不依赖于h的独立常数. 在§2.2.3中,详细给出了有限元方法求解问题(2.16)的收敛性证明.至此,我们解决了美式期权定价问题数值求解的所有困难. 在第二章中,我们还研究了一些重要的金融参数(Greeks)对应的方程,以及求解这些方程的数值方法,并通过数值实验验证了所提算法的有效性.本章的最后,我们给出了应用有限元方法和间断有限元方法求解期权价格和Greeks的三维图像. 3.在第三章中.针对波动率为常数情况,我们提出了一种求解Black-Scholes模型下美式看跌期权定价问题的耦合方法.这一章主要由四部分构成: Ⅰ.有界区域上的定问题.回顾美式看跌期权定价问题(1),B(t)是一条未知曲线,P(S,t)为待求的期权价格,通过简单分析可知,P(S,t)与B(t)之间存在着依赖关系.显然问题(1)是一个很复杂的非线性系统,数值求解该问题时,我们会面临以下三个困难: (1)求解区域的左边界为一条未知曲线,求解区域不规则; (2)求解区域的右端为正无穷,无法直接应用数值方法; (3)给出合理的算法同时求出最佳实施边界B(t)和期权价格P(S,t). 耦合法的主要思想是直接从原始问题(1)出发,给出一种算法同时求出期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).当然,在应用数值方法之前,我们首先要解决前两个问题,将方程(1)化为一个有界区域上的抛物问题. 对此,我们应用标准的变量替换(3.1)和front-fixing变换(3.5),将方程(1)化为半无穷区域上的抛物问题.接下来,采用PML截断技巧(3.9)将半无穷区域上的抛物问题截断成有界区域上的抛物问题变换后的方程系数以及右端函数的具体形式将会在第三章详细给出.通过上述一系列变换,美式看跌期权定价问题(1)化为了一个有界矩形区域上的抛物问题. 在期权和股票交易的过程中,许多从业者不只关心期权价格本身的变动情况,还会关注一些风险随机参数的走势.我们把这些参数定义为希腊字母(Greeks),包括Rho(R), Vega(V)和Delta (△)它们分别为期权价格P(S,t)对无风险利率r,波动率σ和股票价格s的导数.这一部分,我们还将研究这些希腊字母对应的方程. 现在考虑Rho, Vega和Delta当最佳实施边界B(t)已知后,对方程(1)两端同时关于r,σ和S求导(为计算简单,我们只取Dirichlet边界条件),便可得到这些希腊字母对应的方程.采取与处理期权定价问题(1)相同的方法,我们可以得到这些希腊字母对应的矩形区域上的逼近问题. 至此,我们已将美式期权定价问题以及希腊字母对应的问题转化为有界区域上的抛物问题.接下来,将讨论求解这些问题的数值方法.具体的,将采用有限元方法(FEM)和Newton法耦合求解抛物问题(4),给出期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).当最佳实施边界确定后,同样可以应用FEM求解希腊字母Rho和Vega.由于Delta在点(T,B(T))附近存在奇性,有限元方法求解这类问题不能达到较高的精度,故我们将介绍间断有限元方法(DGM)和弱有限元方法(WGM)来求解Delta. Ⅱ.求解期权价格的耦合法.这一部分,我们主要应用有限元方法和Newton法耦合求解抛物问题(4),并证明有限元解的稳定性和非负性.数值求解抛物问题(4)时,我们应用Neumann边值条件ux(0,τ)=gx(b(τ),τ)形成弱形式来求解u(x,τ).把x=0处的Dirichlet边值条件u(0,τ)=g(b(τ),τ)看成是b(τ)的隐函数,应用其求解b(τ).耦合法的主要思想就是这两步交替迭代求解.在§3.2.1中,描述了应用线性元和Newton法耦合求解抛物问题(4)的细节.下面,我们给出有限元解的稳定性和非负性定理. 定理2假设-C11+C2|log(τm)|/τm≤δτbm0,0τm≤T,其中C1和C2是两个正的常数.如果α≥-1/2+γ-q/2γ,β≤r+α(r-q)-γα(1+α)-γο02,则当θ=0或0.5时,抛物问题(4)的有限元解unm(m=1….,M)是稳定的,且有如下估计式成立 在这里,||.||表示L2(Ω)模. 定理3在满足定理2的假设条件下,如果α≤-1/2+r-q/2γ+(r-q-γ)2+4rγ/2γ,并且 足够小,那么问题(4)的有限元解uhm(m=1,...,M)是非负的,即 在这一部分的最后,我们给出任意点处期权价格的表达式.任给m=1,2….,M,i=1,2,...,N1,通过(3.1)和(3.5)的逆变换,可以得到P在点(Sim,τm)处的逼近解,形式如下其中Sim=Kexi+bm,bm=b(τm). Ⅲ.间断有限元方法.在此,我们介绍希腊字母的求解方法.对于Rho和Vega,可以采用前面提到的有限元方法求解,这里不再赘述.由于Delta在点(T,B(T))处存在奇性,有限元方法不能有效的处理这类问题,故在这一部分,我们主要介绍一种求解Delta的数值方法——间断有限元方法(DGM). 在§3.2.2中,详细描述了求解Delta的间断有限元方法,时间方向采用向后欧拉格式离散,空间方向采用分片间断的多项式来逼近真解,这样便得到了Delta的间断有限元逼近解.§3.2.2还给出了应用间断有限元方法求解Delta对应的PML问题的半离散误差估计.定理4假设w(τ,x)∈H1(0,T;Hs(Ω))和wh分别为方程(3.17)的真解和间断有限元解,若s3/2.那么,在DG公式(3.30)中,取e=1时,有如下误差估计成立. 其中C是与h不相关的常数. 通过§3.3.1中的数值实验,我们可以发现间断有限元方法在求解Delta时比较有效,能够达到较高的精度. Ⅳ.弱有限元方法.在§3.2.3中,我们介绍了另一种求解Delta的数值方法——弱有限元方法(WGM).该方法是最近由王军平提出的,一种处理间断问题和存在奇点问题的有效方法.弱有限元方法是传统的有限元方法的一种延拓推广,主要的想法就是把传统的导数,用一种弱定义的导数来替换,而且不要求原函数空间和导函数空间有任何连续性. 为保证弱导数算子定义的合理性,需要对逼近弱导函数空间的分片多项式次数r,以及逼近原函数空间的分片多项式次数j加以限制. 定理5在满足限制条件r=j+1的情况下,离散的弱导数满足(i)(?)dυh/(?)x=0,当且仅当在每个小区间[xn-1,xn]上,υ0=υb=C,C为一个常数;(ii)假设Qh:Hm→Sh是一个L2投影算子,具体形式为,任意给定υ∈HnQhυ={Q0υ,Qbυ},在这里,Q0为区间(xn-1,xn)上的L2投影算子,Qbυ(xn-1)=υ(xn-1),Qbυ(xn)=υ(xn).则有(?)dQh(υ)/(?)x是(?)υ/(?)x在空间∑h中的L2投影. 在§3.2.3中,详细介绍了求解Delta的弱有限元方法.通过§3.3.2中的数值实验,可以看到,弱有限元方法能够较精确的逼近Delta.在这一部分的最后,我们来给出希腊字母的逼近形式.若ωh表示ω的有限元(FEM)或弱有限元(WGM)逼近形式,则Rho,Vega和Delta的逼近解为 其中y=log(S/K). 本章的最后,我们通过几个数值算例验证了本章算法的有效性,并给出了期权定价问题的三维图像. 4.在第四章中.主要探讨了随机波动率情况下的美式期权定价问题,并提出一种耦合求解最佳实施曲面和期权价格的方法.为了简化模型,我们只考虑不支付红利的情况,支付红利的情况可以得到类似的结论.不支付红利的情况,随机波动率下美式看跌期权的定价模型为: 其中从抛物问题(7)的结构我们可以看出,该问题的求解区域是一个三维区域,时间上是一维,空间上为二维.抛物问题(7)的左边界是一个未知的曲面,即最佳实施曲面B(t,y),S轴和y轴正方向均是正无穷,那么在数值求解抛物问题(7)时,我们会遇到以下几个困难: (1)求解区域左端最佳实施曲面B(t,y)未知,求解区域不规则; (2)求解区域是一个无界区域,难以直接应用数值算法; (3)给出合理的算法求出期权价格P(S,y,t)和最佳实施曲面B(t,y).对于第一个难点,我们应用front-fixing变换将左边界化为x=0的平面;第二个困难可以应用PML技巧处理,为了简化求解过程,本文采用了直接截断的方法;最后,我们将应用有限元方法和Newton法耦合来解决第三个问题.在第四章中,我们通过数值实验给出了期权价格P(S,y,t)和最佳实施曲面B(y,t)的近似结果,实验结果验证了本章算法能够较好的拟合期权价格和最佳实施曲面.


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