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动态小世界网络模型及稳定性分析

雷宁  
【摘要】:人类历史在不断地进步,科学发展衍生出若干新的概念和领域,如交通网,物联网,因特网等等,而越来越多领域的深入研究与数学模型相结合后,便催生出一门全新的学科:“网络科学”。网络科学的起源有很强的实际背景,它最早受益于欧拉论著中著名的哥尼斯堡七桥问题。七桥问题延伸出的图论探讨了一系列规则网络的特点和结论。然而现实生活中大部分网络不是那么“规则而完美”的,它们有更加复杂的性质。20世纪50年代末到60年代之间,Erd s和Renyi论述了随机图;20世纪即将结束之际,Watts和Strogatz创立了小世界网络;1999年Barabási和Albert发现了更贴近真实网络的无标度网络,从而将复杂网络的研究推向了新的高度。 复杂网络上的动力学行为包括复杂网络的传播动力学、复杂网络的同步、演化博弈、复杂网络的控制、复杂网络的搜索、复杂网络的鲁棒性等。本文重点考虑复杂网络的疾病传播。传播动力学是复杂网络的一个重要研究方向,有很强的应用价值。目前对这方面的研究有很多成果,然而都处于探索阶段,还没有形成一套系统的理论。比如之前在复杂网络上的疾病传播研究都是基于平均场理论,并没有考虑到网络的结构对疾病传播的影响。本文就将结合网络的实际结构,对复杂网络上的疾病传播作进一步的探讨。 本文首先综述了复杂网络的分类及网络科学发展迄今为止建立的4个典型模型,包括ER随机网,WS小世界网,BA无标度网以及BBV加权无标度网络。接着介绍了传染病的3个经典模型,包括SI,SIS,SIR模型及其在复杂网络上的传播情况。 本文的主要工作是:引入和研究了动态小世界网络(DSW)上的动力学行为,模型如下: 1.给定网络节点总数,排列成环形。 2.每个节点与其最邻近的个节点连边。 3.网络的连边假设:固定的短程连接和随时间变化的长程连接,短程连接(SR links;short-range)不随时间变化,长程连边(LR links;long-range)在疾病传播时随机瞬间产生。 4.网络中的节点相当于社会网络中的每个人,短程连接相当于一个人与其朋友,同事等的紧密的连接,长程连接相当于一个人移动到某个不常联系或陌生的人的位置,发生一次接触,之后再回到原来的位置。 基于动态小世界网络,发现其上的SI模型在不同的长程连接概率下,呈现不同的传播情况:当长程连接概率不为零时,患病人数呈指数增长;而长程连接概率为零时,患病人数呈线性增长。对于其上的SIR模型,本文的研究发现当长程连接概率p满p越大,I*越大。 这些工作为进一步进行复杂网络动力学性质的研究与应用打下一定的基础。


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