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关于K_2群的一些问题的研究

孙超超  
【摘要】:我们主要研究数域、函数域的K2群和代数整数环的K2群即tame核,这是代数K理论的一个重要的研究课题.我们主要研究两个问题,一个是代数整数环的K2群的p-秩问题,另一个是K2群中的分圆元问题.在代数整数环的K2群的p-秩方面,主要探讨代数整数环的tame核K2(?)F的p-秩与F(ζp)的理想类群的P-秩的关系.这方面的研究首先是从Tate开始的,之后由Keune对Tate的工作做了进一步的研究Browkin对二次域上的情况作了详细地探讨.沿着Browkin的思路,我们将Browkin关于二次域的结果推广到一般数域.特别是,我们深入地研究了四次循环域的情形.K2群中的分圆元问题的研究是从Browkin试图推广Tate的工作开始的,主要研究不含单位根的域F上的K2(F)的元素的清晰表示问题.在这方面,我们改变了问题的提法,赋予问题以更精确的形式,从而修正了Browkin关于分圆元的猜想.特别是,我们引入了分圆子群的概念.在有理函数域的情况,我们完全决定了由有限多个“线性”分圆元生成的子群中分圆元的个数以及分圆子群的个数;在数域的情况,我们构造了几类域F使得K2(F)中分圆元的平方和立方仍为分圆元.这使得我们进而构造出了多种非平凡的5阶分圆子群的例子.在第一章中,我们简单介绍了代数K-理论的发展及相关的问题.在第二章中,我们研究了一般数域的tame核与理想类群的p-秩的关系,下面是一些主要的定理与推论.定理2.1.3设F/Q是Galois扩张,E=F(ζp)及F∩Q(ζp)=K且l=[K:Q].若p≠l+1,那么(i)若ef1,rankp(K2OF)=ranp(ε(((p-1)/l)-1)Cl(Ep)p)进而,(ii)若eF=1,则当(Kerλ)∩ε(((p-1)/l)-1)Cl(E)p不含有ε(((p-1)/l)-1)Cl(E)p的非平凡直和项时,否则由此定理,我们可得如下推论.推论2.1.1设F/Q是与Q(ζp)线性非交的Galois扩张,且E=F(ζp).若eF1,则(i)rankp(K2OF)=rankp(ε(p-2)Cl(E)p)(ii)rankp(K2OF)=rnkp(η0ε(p-2)Cl(E)p)+rankp(η1ε(p-20 Cl(E)p).推论2.1.2设F/Q是全实Galois扩张,且E=F(ζp)若([F:Q],p-1)=1,则若F是四次循环域,我们有如下定理定理2.4.1令是四次循环域,E=F(ζp).(i)若p(?)D且p3,则ankp(K2OF)=rankp(ε(p-2)Cl(E)p).(ii)若p|D但p≠D,则定理2.4.3令是四次循环域,其中p(?)D.(i)若p=3,则其中(ii)若A0且5),则其中定理2.4.4令是四次循环域,则定理2.4.5令则(i)若(A/5)=1,则(ii)若(A/5)=-1,则在第三章,我们主要研究了有理函数域上K2群的分圆元与分圆子群,并得到如下结果.定理3.4.7设l≥5是素数,F是域使得Φl(x)在F[x]]中不可约.令n是满足n≤l-3/2的整数.(i)若ch(F)=0,则c(Sl:(n;F))=2n,且有cs(Sl(n;F))=0.(ii)若ch(F)=p≠0,则c(Sl(n;F))=n(2+|ζ(l,p)|).(iii)若ch(F)=p≠0,则我们有且p是l的原根.在此情况下,cs((?)l(n;F))=n,即,(?)l(n;F)包含n个非平凡分圆子群.(iv)(?)l(n;F)的每个非平凡分圆子群是一个l阶循环子群,即个非平凡分圆子群形如(?)l(1;F).推论3.4.6设l≥5是素数,F是ch(F)≠l的域,使得Φl(x)在F[x]中不可约.(i)若ch(F)=0且l≥5(相应的l≥7或l≥11)),则c(Sl(1;F))=2(相应的c((?)l(2;F))=4或c((?)l(3;F))=6且e((?)l(4;F))=8).(ii)若ch(F)=p≠0且l≥5(相应的l≥7或l≥11),则c(Sl(1;F))=2+|ζ(2,p)|(相应的c(Sl(2;F))=2(2+|ζ(f,p)|)或c(Sl(3;F))=3(2+|ζ(f,p)|)且c((?)l(4;F))=4(2+|3(l,p)|)).)对nl-3/2,,即l≤2n+1的情况看起来比较困难.当n=2,l=5,我们有如下定理:定理3.5.1设Φ5(x)在F[x]中不可约.(i)若ch(F)=0,则c((?)5(2;F))=4,故cs((?)5(2;F))=0.(ii)若ch(F)=p≠0,2,则c((?)5(2;F))=2(2+|3(5,p)|).我们用(?)l*(2;Z)记K2(Q(x))中由两个如下形式的本质不同元生成的子群,其中满足额外的条件那么我们有定理3.5.2我们有c((?)5*(2;Z))=4,因此,cs(S5*(2;Z))=0,即,(?)5*(2;z)中不含非平凡的分圆子群.在第四章,我们主要研究了数域上的K2(F)的分圆元与分圆子群.定理4.1.1设p≥3是素数.令a是多项式xp+xp-1+2的一个根且F=Q(α).那么我们有定理4.2.1令p3是素数.设α是fp,i(x)的一个根,其中i=1或2,且F=Q(α).那么我们有


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