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二阶抛物方程的弱Galerkin有限元方法

张红芹  
【摘要】:抛物型方程具有丰富的实际背景,例如在热传导、扩散现象及生物学等模型的研究中常常用抛物型微分方程来描述.关于抛物型方程的数值方法,目前已经有许多经典的方法,包括有限差分法、有限元法、有限体积法等方法.本文我们主要建立并分析了二阶抛物方程初边值问题的两种不同类型的弱Galerkin有限元方法,研究了数值解的稳定性、能量守恒性及收敛性,并用数值算例验证了理论结果.本文主要分为三个部分:在第一部分,我们介绍了二阶抛物方程相关的基本知识,并且着重介绍了弱梯度的定义以及弱Galerkin有限元法的近期成果;在第二部分,我们建立了(r,r,r-1)阶弱Galerkin有限元格式并讨论了算法的稳定性、能量守恒性及其收敛性;在第三部分,我们进一步建立了(r,r-1,r-1)阶弱Galerkin有限元方法,分析了半离散和全离散格式的稳定性和收敛性,给出了误差的最优阶估计.在第一章中,我们首先描述了抛物方程的实际背景;其次,我们介绍了近年来国内外有关二阶抛物方程数值求解的研究状况;然后,我们回顾了经典导数、Sobolev空间及二阶抛物方程的经典有限元方法;最后,阐述了弱梯度定义、Li和WANG[18]基于弱梯度建立的二阶抛物方程初边值问题的弱Galerkin有限元方法.在第二章中,我们考虑如下二阶抛物方程的初边值问题ut-▽·(α▽u)=f, x∈Ω,t∈J, u=0, x∈aΩ,t∈J,(1) u(.,0)=Ψ, s∈Ω.其中Ω(?)R2为多边形区域,J=(0,t0],t00,0=a(·)2×2∈[L∞(Ω)]2×2是实值对称矩阵函数且满足如下的性质:存在0α1α2,使得设Th是区域Ω的一族剖分,hT为单元T∈Th的直径,h=maxT∈Th hT,且剖分Th满足正则性条件A1-A4[24,38].记T0和aT分别表示单元T的内部和边界.对任意给定的整数r≥1,记只(T0)和只(аT)分别表示T。和aT上次数不超过r的多项式集合.定义空间Vh:={v={v0,vb}:v0|T0∈Pτ(T0),vb|(?)∈Pτ(?),(?)∈aT,T∈Th}和Vh0:={v∈Vh:vb|(?)=0,(?)∈(?)T∩(?)Ω}.对每一剖分单元T∈Th,令Gr-1(T):=[PT-1(T)]2,用(?)d表示弱梯度算子:Vh→Gr-1(T),其由如下方程确定(▽dv,q)T=-(u0,▽·q)T+vb,q·n(?)T,v∈Vh,Vq∈Gτ-1(T). (2)在Vh上定义双线性形式:对任意v,w∈Vh,令as(·,·)表示瓦(·,·)的稳定形式从而,a。(·,·)是一致有界且正定的,即存在两个常数α,β0,使得对任意u,v∈Vh,有其中范数(?)·(?)定义为基于弱梯度定义(2),我们可以建立抛物方程初边值问题(1)的半离散弱Galerkin有限元方法:寻找uh(t)={u0(·,t),ub(·,t)}∈Vh0,t≥0,满足初值条件uh(0)=Qhψ,使得令k0表示时间步长,t=tn=nk,0≤n≤N,Nk=t0,n为整数Un=Uhn= {U0n,Ubn)∈Vh0表示u(tn)的近似.在方程(3)中关于时间t用向后Euler方法逼近,得全离散弱Galerkin有限元方法:寻找Un∈Uh0(n=0,1,2,…,N),满足初值条件U0=Qhψ,使得其中当我们如此选取有限元空间Vh和弱梯度算子值域空间Gr-1时构造的弱Galerkin格式称为(r,r,r-1)阶弱Galerkin有限元方法.我们对二阶抛物方程初边值问题(1)的半离散格式(3)和全离散格式(4)的弱Galerkin有限元数值方法进行了数值解的稳定性、能量守恒性、收敛性和误差阶分析.并且用数值算例验证了理论结果.主要结果如下:定理1.设uh(t)={u0(·,t),ub(·,t)}为半离散格式(3)的解,则存在与h无关的常数C0,使得即数值解uh(t)关于初值ψ和强制项‘f是稳定的.定理2.设uh(t)={u0(·,t),ub(·,t)}为半离散格式(3)的解,则uh(t)保持能量守恒.即对每一单元T∈Th其中qh=一Rh(α▽duh)+hT-1(u0-ub)n,Rh表示从[L2(T)]2到Gr-1(T)的L2投影.定理3.令u∈HT+1(Ω)和uh分别为初边值问题(1)和半离散弱Galerkin格式(3)的解,e:=uh-Qhu∈Vh0表示弱Galerkin逼近与真解u的L2投影之间的误差.则存在与h无关的常数C0满足和定理4.令u∈Hr+1(Ω)和Un分别为初边值问题(1)和全离散弱Galerkin格式(4)的解,记en:=Un-Qhu(tn)表示全离散格式(4)的数值解与初边值问题(1)真解u的L2投影的误差.假设u∈C2([0,t0];Hr+1(Ω)).则存与h无关的常数C0使得,对0n≤N,有和其中定理5.设u∈Hr+1(Q),初边值问题(1)对应的椭圆问题有H2正则性.则存在与h无关的常数C0满足和定理6.设u∈Hr+1(Ω).则存在与h无关的常数C0满足和在第三章中,我们对抛物方程初边值问题(1)建立了另一种弱Galerkin有限元方法.对任意给定的整数r≥1,记Pr(T0)表示T0上次数不超过r的多项式集合,Pr-1(аT)表示аT上次数不超过r-1的多项式集合.定义空间和在每一单元T∈Th,记Gr-1(T):=[Pr-1(T)]2,定义(?)d为弱梯度算子Vh→Gr-1(T),其满足如下方程在Vh上定义双线性形式:对任意v,w∈Vh,令as(·,·)表示a(·,·)稳定形式而且,双线性形式as(u,v,)是一致有界且正定的,即存在两个常数α,β0,使得对u,v∈Vh,有其中范数(?)·(?)定义为如此选定空间Vh和弱梯度定义,我们可以构造初边值问题(1)的(r,r-1,r-1)阶弱Calerkin半离散格式:寻找uh(t)={u0(·,t),ub(·,t)}∈Vh0,t≥0满足初值条件uh(0)=Qhψ,使得令k0表示时间步长,t=tn=nk,0≤n≤N,Nk=t0,n为整数.记Un=Uhn= {U0n,Ubn}∈Vh0表示u(tn)的近似.则半离散方程(6)中关于时间t用向后Euler格式逼近的全离散弱Galerkin有限元方法为:寻找Un∈Vh0,(n=0,1,2,…,N),满足初值条件U0=Qhψ,使得其中我们对抛物方程初边值问题(1)的(r,r-1,r-1)阶弱Galerkin的半离散格式(6)和全离散格式(7)进行了稳定性、能量守恒性及收敛性分析,并给出最优阶估计.另外用数值算例验证了理论结果.主要结果如下:定理7.设uh(t)={u0(·,t),ub(·,t)}为半离散弱Galerkin有限元格式(6)的解,则存在与h无关的常数C0,使得即数值解uh(t)关于初值ψ和强制项f是稳定的.定理8.设uh(t)={u0(·,t),ub(·,t)}为半离散弱Galerkin有限元格式(6)的解,则uh(t)保持能量守恒.即对每一单元T∈Th,有如下等式成立其中qh=-Rh(α▽duh)+hT-1(Qbu0-ub)n,Rh表示从[L2(T)]2到Gr-1(T)的L2投影.定理9.令u∈Hr+1(Ω)和uh分别为初边值问题(1)和半离散弱Galerkin格式(6)的解,e:=uh-Qhu∈Vh0表示弱Galerkin逼近解与真解u的L2投影之间的误差.则存在与h无关的常数C0满足和定理10.若剖分Th满足正则性条件A1-A4[24,38],则存在与h无关的常数C0,使得定理11.令u∈Hr+1(Ω)和Un分别为初边值问题(1)和全离散弱Galerkin格式(7)的解,记en:=Un-Qhu(tn)表示全离散弱Galerkin逼近解与真解u的L2投影的误差.假设u∈C2([0,t0];HT+1(Ω)).则存在与h无关的常数C0使得,对0n≤N,有和其中定理12.设u∈Hr+1(Ω),初边值问题(1)对应椭圆问题有H2正则性.则存在与h无关的常数C0满足和定理13.设u∈Hr+1(Ω)则存在与h无关的常数C0满足


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