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求解两类偏微分方程的弱Galerkin有限元法

张佳川  
【摘要】:弱 Galerkin 有限元法(Weak Galerkin Finite Element Method)是一种求解偏微分方程的高效数值方法,是对经典有限元方法的继承和发展.最早由王军平和叶秀在2011年提出,并用于求解二阶椭圆问题.它与经典有限元方法的不同之处在于定义了弱函数,进一步针对弱函数引入了弱微分(弱导数,弱梯度,弱散度,弱旋度等)的概念,并将其应用到变分形式中,然后对导出的变分形式进行数值求解.弱Galerkin有限元法一经提出,便受到了广泛关注.经过几年的发展,它的内容更加丰富,主要包括:弱Galerkin混合有限元的提出和稳定子的引入,使得弱Galerkin有限元法应用起来更加方便;杂交技术和自适应技术的应用,使得求解速度更快;将多尺度思想引入弱Galerkin有限元法,使得它能够处理来自物理和工程领域的多尺度问题等.此外,随着科研内容的不断完善,该方法能处理问题的类型也越来越多.研究者们已经将弱Galerkin有限元法用于处理包括二阶椭圆交界面问题,Bihar-monic方程求解问题,Helmholtz方程求解问题,Stokes方程求解问题,以及Maxwell方程求解问题等多个经典问题.本文主要研究一维光栅衍射问题和Navier-Stokes方程的求解问题.并针对两类问题各自的难点,给出一些处理技巧,设计相应的弱Galerkin有限元格式.光栅衍射问题存在两个难点:第一个难点是问题求解区域无界.如何对求解区域进行截断,并给出相应的边界条件将直接影响到计算结果.第二个难点是在交界面附近,电磁波的导数变化剧烈.经典的有限元方法不能够很好的模拟交界面附近的振荡或跳跃.因此,寻找更加稳定,精度更高的数值方法是十分必要的.对于第一个难点,在x1方向使用周期边界条件,在x2方向引入透射边界条件将区域截断成矩形区域[0,Λ]×[-b,b].其中Λ表示x1方向的周期,b是一个正常数.之后,在得到的有界区域上求如下Helmholtz方程(△α + k2)uα=,0 在Ω 中,需要强调的是,uα在x1方向满足周期边界条件,在x2方向满足透射边界条件.周期边界条件较自然,这里主要给出透射边界条件,形式如下:其中,算子△α和Tj,j = 1,2分别在(3.3)和(3.8)中给出定义.针对光栅问题的第二个难点,我们采用带稳定子的弱Galerkin有限元法求解上述方程.稳定子的引入使得弱Galerkin有限元法的解是弱连续的,用它来捕捉电磁波在光栅交界面附近的振荡非常合适.基于上述讨论,我们分别在理论分析和数值实验上验证了算法的可靠性.在理论上,对带有透射边界条件和周期边界条件的弱Galerkin有限元格式进行了细致的分析,给出了解的存在性,唯一性和收敛性的详细证明,并导出了最优收敛阶,形式如下:定理令u∈Hm+1(Ω)和uh∈Vh分别代表方程(3.5)-(3.7)的真解和方程(3.15)的弱Galerκκin有限元解.设eh=Qhu-uh={ei,eb},并假设衍射问题的对偶问题有一个解ω∈H1+s其中s∈(0,1],那么存在一个常数h*0使得‖eh‖wh≤Chm‖u‖m+1,‖ei‖≤Chm+s‖u‖m+1,对任意的h∈(0,h*)均成立.现有关于弱Galerkin有限元法的收敛性分析多是针对Dirichlet边界条件展开的,而对于带透射边界条件的理论结果还很有限.本文的研究在理论上丰富了弱Galerkin有限元法的内容,对于其它类似的问题具有一定的参考价值.在数值方面,我们由简入繁地对三个光栅衍射问题进行了模拟,并从收敛性和光栅效率两方面验证算法的精度.关于收敛性,数值实验结果表明,误差关于‖·‖wh-范数和L2-范数分别达到了 1阶和2阶收敛速率,这与理论分析数据吻合.关于光栅效率,反射效率和透射效率之和稳定在1左右,这与事实吻合.另外,我们还给出了主要衍射级的光栅效率以及复杂光栅具有高振荡的电场强度函数图像.通过对三个光栅问题的模拟,我们发现弱Galerkin有限元法在求解光栅衍射问题时有以下优势:(1)无论对于简单光栅还是复杂光栅,该算法都非常稳定,高效且具有高精度;(2)弱Galerkin有限元法的解是弱连续的,它能较好地模拟电磁波在光栅交界面附近的振荡.Navier-Stokes方程是计算流体力学最主要的方程之一.在一个带有Lipschitz边值条件的有界区域Ω ∈R2内,不可压粘性流可以由与速度u和压力p相关的Navier-Stokes方程来描述,形式如下:ut-v▽2u+(u·▽)u+▽p = f,在Ω ×(0,T]内,▽· u = 0,在Ω×(0,T]内,u=g,于T×(0,T],u(·,0)= u0,在 Ω 内,其中,v,f和u0分别表示粘性系数,源项和初始条件,g是满足(?)g·ndT = 0的边值条件,r表示Ω的边界,n是r的外法向量,T表示终止时间.对于该问题的一个重要概念是雷诺数(Re=UL/v),它是流体力学中表征粘性影响的相似准则数.其中,U表示流速,L表示流动区域的尺寸.求解Navier-Stokes方程的主要困难有三点.(1)当雷诺数较大时,经典有限元对压力p不再有效;(2)速度和压力逼近空间如果不匹配,关于压力的数值结果会出现不稳定和振荡现象;(3)该问题带有非线性项,这使得理论分析和数值求解的难度加大.对于第一个困难,弱Galerkin有限元法是一种有效的处理方法.该方法通过引入稳定子控制每个单元上内部和边界之间跳跃,使得数值格式更加稳定,进而能够很好地模拟出压力.需要指出,弱Galerkin有限元稳定子的参数可由雷诺数的大小直接决定.而现有稳定子的有限元方法需要仔细调节数值通量项或惩罚项参数,才能保证数值方法的稳定性,参数选取难度较大.对于第二个困难,在逼近空间的选取上,如果速度和压力的空间不匹配,模拟出来的关于压力的数值结果就会出现不稳定或振荡现象.现有的避免和减少振荡现象的发生的策略有两种:混合有限元方法和稳定子有限元方法.前者是有限元空间中用于逼近压力的分片多项式次数比速度的低一阶,目的是为了满足inf-sup条件.后者采用了 Galerkin最小平方稳定子,是通过极小化动量方程在每个单元上积分残量的平方来给出的.本文将采用弱Galerkin有限元法处理该问题,与混合有限元方法相比,弱Galerkin有限元法关于速度空间和压力空间的组合有更多的选择.例如,既可以选择速度的次数比压力的次数高的Pk-Pk-1多项式组合,也可以选择次数相同的Pk-Pκ组合.在一个较弱的假设下,这些组合都满足inf-sup条件.与稳定子有限元方法相比,弱Galerkin有限元法稳定子参数地选取更容易,更直接.在后续章节我们将在理论分析和数值模拟上分别验证该算法的高精度性.对于第三个困难,非线性项的存在使得问题的难度大大增加.在理论推导方面我们需要采用更特殊的技巧来得到数值格式的适定性;在编程实现方面,非线性项使得编程更加复杂,所需要的计算时间更长.本文采用弱Galerkin有限元法求解Navier-Stokes方程,给出了半离散弱Galerkin有限元格式解的存在性,唯一性和收敛性分析,并且采用Newton迭代法处理非线性项.由于弱Galerkin有限元法的稳定性很好,在我们的几个数值模拟中Newton迭代法只需2-4步,收敛误差便达到了 10-7量级.关于速度和压力,我们有如下的误差估计:定理令{u,p}和uh分别是Nauier-Stokes方程(4.1)-(4.4)和(4.28)的解,并让假设(4.32)成立,那么我们有下面的收敛性估计其中C是和h无关的常数,Qi和Qh的定义分别由(2.26)和(2.26)给出.定理令{u,p}和ph分别是Nauier-Sokes方程(4.1)-(4.4)和(4.29)的解,并让假设(4.32)成立,那么我们有下列误差估计其中C是和h无关的常数,Phh的定义由(4.18)给出.综上,本文将弱Galerkin有限元法应用到光栅衍射和Navier-Stokes两类问题中,在理论和数值上都取得了较好的结果。


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